多项式零点的几何含义

代数恒等式是一个等式，适用于其变量的任何值。它们通常用于多项式的因式分解或代数计算的简化。多项式只是一堆加在一起的代数项，例如，p(x)= 4x +1是1阶多项式。同样，多项式可以是1、2、3…的任意次数，依此类推。多项式基本上就是那些使现实生活中的计算变得容易的数学表达式。根据多项式中存在的项数的不同，多项式的类型也不同，例如，如果有2个项，则称为二项式。

多项式的零点

假设P(x)是一个多项式。令x = r，是我们的多项式P(x)变为零的x的值，即，

在x = r或P(r)= 0时P(x)= 0

查找P(x)零点的过程只是解决方程P(x)=0。我们已经知道如何为一阶和二阶多项式计算零。我们来看一些例子

问题1：P(x)= x ² + 2x –15。找到该多项式的根。

解决方案：

Let’s put P(x) = 0, 

x² + 2x -15 = 0 

⇒ x² + 5x – 3x – 15 = 0 

⇒ x(x +5) -3 (x + 5) = 0 

⇒ (x – 3) (x + 5) = 0 

So, this expression will be zero for two values of x, i.e. x = 3 and -5. 

最后一个示例使用分解方法来找到多项式的根。我们还可以使用其他方法，例如Shree Dharacharya二次公式的零因子来找出多项式的根或零。

If ax² + bx + c = 0, where a≠0, then the formula for roots will be,

$x=\frac{-b_{-}^{+}\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

This formula for finding out roots of a polynomial is known as Shree Dharacharya Quadratic Formula.

问题2：求解多项式的根，x ² + 6x – 14 = 0

解决方案：

As it is clear that the above expression cannot be simplified just by intuition, therefore, we shall go for the Dharacharya Formula.

$x=\frac{-b_{-}^{+}\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Here, a=1, b=+6, c=-14

$x=\frac{-6_{-}^{+}\sqrt{6^2-4(1)(-14)}}{2(1)}$

$x=\frac{-6_{-}^{+}\sqrt{36+56}}{2}$

$x=\frac{-6_{-}^{+}\sqrt{92}}{2}$

x=-3±√23

多项式零点的几何含义

我们知道零是什么，但是为什么它们很重要?让我们看一下零后面含义的图形解释。让我们看一下一阶和二阶多项式的图。

让我们取一个多项式y = 2x + 1，这也是一条直线方程。下图显示了该直线的图形。我们将看一下y变为零的位置。

该图在一个位置与x轴相交，只有一个根。因此，我们可以从图中得出结论，即根是多项式的图形与x轴相交的位置。

因此，通常，对于一个多项式y = ax + b，它表示一个带有一个根的直线，该直线位于图形切割x轴的位置，即( $(\frac{-b}{a},0)$ 。

现在，让我们看一下二阶多项式的图

令p(x)= x ² – 3x – 4，下图表示其图。让我们关注这个多项式的根。

在此图中，我们可以看到它在两个点处切割了x轴。因此，这两点是该多项式的零。但是会永远是这种情况吗?根据x ²的系数，该曲线图可以朝上或朝下。

通常，二次多项式ax ² + bx + c的零(a≠0)恰好是表示y = ax ² + bx + c的抛物线与x轴相交的点的x坐标。

图的形状可能发生三种可能的情况。

情况(i)：图形在两个不同的点A和A’上切割了x轴。上面已经显示了这种情况。在此，多项式y = ax ² + bx + c具有两个不同的根。

情况(ii)：图形恰好在一个点(即两个重合点)处切割了x轴。两个相同的根源。在此，多项式y = ax ² + bx + c仅具有一个根。

情况(iii)：图形要么完全在x轴上方，要么完全在x轴下方。在此，多项式y = ax ² + bx + c没有根。

同样，让我们针对三次多项式进行研究。

三次多项式

假设一个多项式，P(x)= x ³ – 4x。

P(x)= x(x ² -4)

= x(x-2)(x + 2)

因此，该多项式的根是x = 0，2，-2。

我们可以从图中验证这些必须是曲线切割x轴的位置。

但是，与二阶多项式一样，可能存在不止一种可能性。

让我们以三次多项式为例P(x)= x ³

此图仅在一个点切割x轴。因此，x = 0是多项式p(x)= x ³的唯一根。

可能还有另一种情况，例如，取P(x)= x ³ – x ² 。

我们可以看到，该函数的图形仅在两个位置切割了x轴。从上面的例子中，我们可以说这个多项式最多可以有3个零。

Note: In general a polynomial of degree “N” can have at most N zeros. 

问题1：以下哪个图形代表三次多项式。

回答：

(A) is the graph of a cubic polynomial because it cuts the x-axis only three times. 

(B) does not cut the x-axis at all and is continuously increasing, So it cannot be. 

(C) It cuts the x-axis at more than 5 points. So it cannot be three degree polynomial

(D) It is a graph of a parabola, we studied earlier. So it is not a cubic polynomial. 

问题2：在图表上显示二次方程的零点，x ² – 3x – 4 = 0

解决方案：

From the equation, we can tell that there are 2 values of x.

Factorizing the quadratic equation to find out the values of x,

x²-4x+x-4= 0

x(x-4) +1(x-4)= 0

x = (-1), x = 4

Hence, the graph will be an upward parabola intersecting at (-1,0) and (4,0)

问题3：找到二次方程的图形与x轴相交的点，x ² – 2x – 8 = 0

解决方案：

Factorize the quadratic equation to find the points,

x²-4x+2x-8 = 0

x(x-4) +2(x-4)= 0

(x-4)(x+2)= 0

x = 4, x = (-2)

Therefore, the equation will cut the graph on x-axis at (4,0) and (-2,0)