拆分一个数组以使奇数和偶数元素数量相等的子数组最大化，而代价不超过K

问题描述

给定一个长度为n的数组，每次操作可以将一个数拆分成两个数之和，并将操作次数计入总代价K。现在需要将数组拆分成尽可能多的子数组，使得每个子数组中奇数元素和偶数元素的数量相等，并且总代价K不超过给定值。求最多能拆成多少个子数组。

解题思路

我们可以使用动态规划来解决这个问题。设dp[i][j]为将前i个数拆分成j个子数组所能得到的最大子数组个数，则有：

• 如果第i个数是奇数，则dp[i][j] = max(dp[k][j-1]+1)，其中k<i，且前i到k个数中奇数和与偶数和相等可以根据之前计算的状态来判断。
• 如果第i个数是偶数，则dp[i][j] = max(dp[k][j-1]+1)，其中k<i，且前i到k个数中奇数和与偶数和相等可以根据之前计算的状态来判断。

最终的答案为dp[n][j]中最大的满足条件的j。

代码实现如下：

def split_array(nums, k):
    n = len(nums)
    dp = [[0] * (k+1) for _ in range(n+1)]
    # 计算前缀和
    prefix_sum = [0]
    for num in nums:
        prefix_sum.append(prefix_sum[-1] + num)
    
    # 判断奇偶性
    is_odd = [1 if num % 2 == 1 else 0 for num in nums]
    
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, k+1):
            for p in range(i-1, -1, -1):
                if abs(p-i+1 - 2*prefix_sum[i] + 2*prefix_sum[p]) <= 2*j \
                    and (2*j-abs(p-i+1)) % 2 == 0\
                    and (prefix_sum[i]-prefix_sum[p]) % 2 == 0:
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[p][j-1]+1)
            
    return max(dp[n])

时间复杂度

通过三重循环来计算动态规划状态，时间复杂度为$O(n^3)$。

空间复杂度

使用了一个二维数组来存放动态规划状态，空间复杂度为$O(nk)$。

参考资料

• 拆分一个数组之和为奇数偶数的数组的前缀和之差即为若干组，每组元素的数量可以不同

• Split Array With Same Average