握手引理和有趣的树属性

程序员在处理树结构的数据时，经常会用到“握手引理”和一些有趣的树属性，这些概念和算法可以帮助我们更好地理解和优化代码。

握手引理

所谓“握手引理”，是指在任何有限的图形中，所有顶点的度数之和均等于边的数量的两倍。

在树结构中，每个节点都至少有一个父节点，因此整个树结构的边的数量为节点数减1。节点的度数则等同于其子节点的数量，因此总的度数之和为所有节点子节点数量之和。根据握手引理，我们可以得到以下公式：

2 * 边数 = 所有节点子节点数量之和

利用这个公式，我们可以在树的问题中快速计算出一些信息。例如：

• 树中叶子节点（即没有子节点）的数量为：节点数减去所有度数大于1的节点的数量
• 树的深度（树中最远节点距离根节点的距离）为：树中的最长路径的长度

有趣的树属性

除了握手引理，还有一些有趣的树属性可以帮助我们解决一些问题。

1. 树的重心

树的重心是指在树中，删除任意一个节点后，剩余部分最大的节点。可以证明，一棵树的重心最多只有两个。如果求一棵树的重心，我们可以利用以下方法：

1. 任选一点作为根节点，计算所有子树的大小
2. 从根节点出发，计算每个节点的子树的大小
3. 对于每个节点，将所有子树大小之和加上自身节点的数量，得到该节点作为重心的值
4. 找到所有节点中值最小的那个，即为重心

2. 删边重构树

删边重构树是指，给定一棵树以及一些边（保证删去这些边后，仍为一棵树），重构出一棵新的树，使得新树中任意两个节点的距离等于原树中的距离。这个算法有许多应用，例如最小斯坦纳树、K短路等问题。

3. 树的直径

树的直径是指树中最长路径的长度。计算树的直径可以使用双重搜索的方法。

我们可以从树中任意一个节点出发，进行深度优先搜索，标记已经走过的节点。找到距离起点最远的节点u，再从节点u出发进行深度优先搜索，找到距离节点u最远的节点v，那么节点u到节点v的距离就是树的直径。

总结

握手引理和有趣的树属性是程序员处理树结构数据时必不可少的理论基础。熟悉这些概念和算法可以帮助我们更好地处理树的问题。