计算对数以使gcd(A,B)为B

在某些算法中，需要计算对数以使gcd(A,B)等于B。下面介绍一种可行的方法。

思路

根据辗转相除法，我们可以得到以下等式：

gcd(A,B) = gcd(B, A % B)

由于我们要使gcd(A,B)等于B，所以有以下等式：

B = gcd(B, A % B)

将B移到等式左边，得到：

0 = A % B - B

我们要求的是使上述等式成立的A和B的个数，即使得A % B - B等于0的(A,B)对数。根据同余方程的定义（即如果a和b满足a≡b(mod m)，那么a-b是m的倍数），上述等式可以转化为以下形式：

A ≡ B (mod A % B)

因此，我们需要求满足上述同余方程的A和B的个数。

假设A % B的质因子分解结果为p1^c1 * p2^c2 * ... * pn^cn，则我们可以列出以下等式：

A = B * (k1 * p1^c1 + k2 * p2^c2 + ... + kn^cn)

其中ki为1到pi^ci之间的整数。因此，我们只需要对于每个质因子求出ki可选的个数，然后将其相乘即可得到满足要求的(A,B)对数。

假设N的质因子分解结果为p1^c1 * p2^c2 * ... * pn^cn，则ki的可选个数为：

floor(log(B/p1^c1)/log(pi)) + 1

其中log为以pi为底的对数函数。将所有ki的可选个数相乘即为最终结果。因为经过质因子分解后，每个数的因子个数最多为log2(N)，所以算法的时间复杂度为O(log2(N)^2)。

代码实现（Python）

import math

def calculate_pairs(n):
    res = 1
    for p in range(2, n + 1):
        if not is_prime(p):
            continue
        c = 0
        while n % p == 0:
            n //= p
            c += 1
        b = p ** c
        k = math.floor(math.log10(b) / math.log10(p)) + 1
        res *= k
    return res

def is_prime(n):
    if n < 2:
        return False
    for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

参考资料

• Codeforces: GCD Counting
• 米哈游博客: 计算对数以使gcd(A,B)为B