使用二分搜索查找图的最小顶点覆盖大小

简介

在图论中，顶点覆盖是指选取一个最小的顶点集合V，使其能够覆盖这个图的所有边，也就是每条边至少有一个端点在V中。最小顶点覆盖是所有顶点覆盖中选择最少的顶点数。

二分搜索查找图的最小顶点覆盖大小是一种解决最小顶点覆盖问题的有效方法。

实现

在实现前，我们需要先了解一个引理：将一个顶点覆盖转化为最大匹配问题，即将图的每条边看作是一条二元组(u,v)，其中u和v是这条边的两个端点，然后求解这个图的最大匹配，最小顶点覆盖大小即为n-最大匹配，其中n为图的顶点数。

基于这个引理，我们可以使用二分搜索查找图的最小顶点覆盖的大小。

具体实现步骤如下：

1. 先计算图的最大匹配大小。
2. 设当前二分区间为[left,right]，mid为该区间的中间值。将图中所有与编号为[1,mid]的顶点相连的边都删除，然后计算新图的最大匹配大小newMaxMatch。
3. 若mid大于等于n-当前最大匹配大小newMaxMatch，则更新答案ans为n-mid，将右边界right更新为mid-1。否则将左边界left更新为mid+1。
4. 重复步骤2和步骤3直到left>right。

以下是Python代码片段实现上述算法：

def min_vertex_cover(n, edges):
    left, right = 0, n - 1
    max_match = calc_max_match(n, edges)
    ans = n - max_match
    while left <= right:
        mid = (left + right) // 2
        g = Graph(n)
        for u, v in edges:
            if u > mid and v > mid:
                g.add_edge(u - 1, v - 1)
        new_max_match = g.max_match()
        if mid >= n - new_max_match:
            ans = n - mid
            right = mid - 1
        else:
            left = mid + 1
    return ans

class Graph(object):
    def __init__(self, n):
        self.n = n
        self.adj = [[] for _ in range(n)]

    def add_edge(self, u, v):
        self.adj[u].append(v)
        self.adj[v].append(u)

    def max_match(self):
        self.match_u = [-1] * self.n
        self.match_v = [-1] * self.n
        self.vis = [False] * self.n
        res = 0
        for u in range(self.n):
            if self.match_u[u] == -1:
                self.vis = [False] * self.n
                if self.dfs(u):
                    res += 1
        return res

    def dfs(self, u):
        self.vis[u] = True
        for v in self.adj[u]:
            if not self.vis[v]:
                self.vis[v] = True
                if self.match_v[v] == -1 or self.dfs(self.match_v[v]):
                    self.match_u[u] = v
                    self.match_v[v] = u
                    return True
        return False

总结

二分搜索查找图的最小顶点覆盖大小是一种有效的解决最小顶点覆盖问题的方法。其主要思路是将图的顶点覆盖转化为最大匹配问题，然后通过二分搜索分别计算不同顶点集合的最大匹配大小，并根据大小关系更新搜索区间。通过该算法可以在较短的时间内求解出图的最小顶点覆盖大小。