最小化除以D的次数以获得至少K个相等的数组元素

问题描述

给定一个长度为N的数组A，可以对任意位置i执行一个操作：让A[i]除以D，其中D为给定整数。请你最小化需要执行的操作次数，使得A中至少有K个元素相等。

解决方案

我们可以使用二分答案来解决这个问题。具体地，我们二分答案x，然后将数组中所有数不断除以D，直到所有数都小于等于x。这样处理之后，如果数组中存在k个相等的元素，那么x就是一个合法的答案；否则x不是一个合法答案。

为了更有效地维护相等元素数，我们可以遍历所有经过除法操作后的元素，并用一个哈希表统计它们的出现次数。这样，我们就可以在O(N)的时间内统计出当前数组中相等元素的数量。

最后，我们可以通过比较原始数组中的元素A[i]和二分答案x的大小关系，判断应该选择哪个数进行下一轮的除法操作。如果A[i]比x小，那么我们什么都不做；否则，我们就对A[i]除以D并在哈希表中更新计数器。

为了保证最小化除以D的次数，我们每次应该选择原始数组中最大的大于等于x的元素进行除法操作。

最后，当我们统计出当前数组中相等元素的数量大于等于K时，就可以停止二分搜索了。此时的二分答案即为问题的解。

时间复杂度

二分搜索的时间复杂度为O(logD * logN)，而统计相等元素的时间复杂度为O(N)。因此，算法的总时间复杂度为O(NlogD * logN)。

参考代码

def count_equal_numbers(arr, D, x):
    count = {}
    for a in arr:
        while a > x:
            a //= D
        count[a] = count.get(a, 0) + 1
    res = 0
    for cnt in count.values():
        res += cnt * (cnt - 1) // 2
    return res

def min_divide_count(arr, D, K):
    left, right = 1, max(arr)
    while left < right:
        mid = (left + right) // 2
        cnt = count_equal_numbers(arr, D, mid)
        if cnt >= K:
            right = mid
        else:
            left = mid + 1
    return left

这里的min_divide_count函数接收三个参数：原始数组arr，除数D和要求的相等元素数量K。函数的返回值为最小化除以D的次数所获得的至少K个相等的数组元素。

该函数首先初始化搜索范围为[left, right] = [1, max(arr)]，然后进行二分搜索。在每次二分搜索中，我们首先以mid = (left + right) // 2计算出当前二分答案的值；然后调用辅助函数count_equal_numbers统计当前数组中相等元素的数量。如果相等元素数量大于等于K，则将搜索范围调整为[left, mid]；否则将搜索范围调整为[mid + 1, right]。最终，当 left == right 时，函数的返回值就是最小化除以D的次数所获得的至少K个相等的数组元素的值。