最长的公共子序列，允许排列

在计算机科学中，最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）是指在一系列序列中，找到另一序列的最长子序列，并且这个子序列在两个原序列中的位置顺序相同（也就是只允许相对顺序不变，但可以间隔重复）。LCS问题是一个经典的计算机科学问题，在字符串、DNA序列等领域均有广泛应用。

算法

最长公共子序列问题可以使用动态规划的算法来解决。具体算法如下：

1. 初始化一个 $（n+1) * (m+1)$ 的二维矩阵 $dp$，其中 $n$ 和 $m$ 分别为两个字符串的长度。矩阵的第一行和第一列都初始化为 $0$。
2. 遍历两个字符串，如果当前字符相同，则将 $dp(i,j)$ 的值设为 $dp(i-1,j-1)+1$，表示它是公共子序列的一部分，而且长度比之前的公共子序列增加了 $1$。反之，则将 $dp(i,j)$ 的值设为左边和上方两个元素中的最大值，即 $dp(i-1,j)$ 和 $dp(i,j-1)$。
3. 遍历完成后，$dp(n,m)$ 即为最长的公共子序列的长度。

为了获得最长的公共子序列，需要额外的处理步骤。可以从 $dp(n,m)$ 开始，倒着遍历矩阵，每移动一步就检查当前位置上、左、左上三个位置上的值，选择最大的一个，然后将其对应的字符添加到结果字符串中。最终得到的结果字符串即为最长公共子序列。

允许排列的最长公共子序列

在一些应用场景中，需要允许公共子序列中的字符在原字符串中间隔排列，例如：

• 两个字符串中间可以插入任意数量和任意类型的字符
• 允许公共子序列中的字符在原字符串中重复出现

对于这种情况，可以采用类似 LCS 的动态规划算法。具体算法分为两步：

1. 先找到两个字符串的 LCS。
2. 对于第一个字符串中 LCS 中的每个字符，在第二个字符串中找到一个尽可能靠前的位置，并将其作为公共子序列的一部分，同时标记该位置已经被使用。如果找不到这样的位置，则在第二个字符串中的未使用的位置中任选一个加入公共子序列。

为了找到尽可能靠前的位置，可以使用类似二分查找的方法。首先找到最小的未使用的位置 $p$，然后找到第一个大于等于当前字符的位置 $q$，如果 $q$ 存在且未使用，则将其记录为公共子序列的一部分；否则将 $p$ 记录为公共子序列的一部分。

示例代码

def lcs(s1, s2):
    n, m = len(s1), len(s2)
    dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, m + 1):
            if s1[i-1] == s2[j-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
    return dp

def lcs_permutation(s1, s2):
    dp = lcs(s1, s2)
    i, j = len(s1), len(s2)
    result = []
    used = set()
    while i > 0 and j > 0:
        if s1[i-1] == s2[j-1]:
            result.append(s1[i-1])
            used.add(j-1)
            i -= 1
            j -= 1
        else:
            if dp[i-1][j] > dp[i][j-1]:
                i -= 1
            else:
                j -= 1
    for i in range(len(s2)):
        if i not in used:
            result.insert(dp[len(s1)][i], s2[i])
    return ''.join(result)

上述代码定义了两个函数。函数 lcs(s1, s2) 计算两个字符串的 LCS，函数 lcs_permutation(s1, s2) 计算两个字符串的允许排列的 LCS。函数 lcs_permutation(s1, s2) 的思路与前面所述的算法相同，具体实现将 LCS 中的字符按照顺序加入结果字符串中，并将 LCS 中每个字符在第二个字符串中的位置标记为已使用，随后再将未使用的字符按照顺序插入结果字符串中。