最长的公共扩展名 LCE | 组合2（减为RMQ）

简介

最长的公共扩展名（Longest Common Extension，LCE）是计算机科学中一个经典的问题，通常与RMQ（Range Minimum Query）问题组合。LCE问题要求找出两个给定字符串的最长公共后缀，而RMQ问题则是在一个数列中查询两个位置之间的最小值。这两个问题的组合可以用于许多字符串匹配和近似搜索算法的优化。

本文将介绍LCE问题的定义、应用场景以及解决方法，以及RMQ问题在LCE问题中的作用。

LCE问题定义

给定两个字符串A和B，LCE问题要求找出这两个字符串的最长公共后缀。公共后缀的长度是指从字符串末尾开始的连续字符数量。例如，字符串A="programming"和字符串B="working"，它们的最长公共后缀为"ing"，长度为3。

应用场景

LCE问题在字符串匹配和近似搜索算法中广泛应用。以下是几个使用LCE问题的典型场景：

• 字符串比较：在文本处理中，需要比较两个字符串的相似性，LCE问题提供了一种有效的方法来计算字符串之间的差异。
• 数据压缩：在压缩算法中，LCE问题可以用于识别和消除重复的后缀，从而实现更高效的数据存储和传输。
• DNA序列比对：在生物信息学中，LCE问题用于比较DNA序列以查找相似性和共同的特征。

解决方法

LCE问题的解决方法有多种，其中一种常用的方法是将LCE问题转化为RMQ问题，并使用RMQ算法来解决。以下是解决LCE问题的步骤：

1. 构建后缀数组：首先，将字符串A和字符串B进行连接，并在它们的末尾添加一个特殊的分隔符字符。然后，构建后缀数组，该数组包含连接后的字符串的所有后缀，按照字母顺序排序。
2. 构建最高公共前缀数组：通过比较相邻的后缀，可以构建最高公共前缀数组LCP（Longest Common Prefix）。LCP[i]表示排在第i个的后缀和排在第i-1个的后缀的最长公共前缀的长度。
3. 构建RMQ数据结构：使用LCP数组构建一个支持RMQ查询的数据结构，例如Sparse Table、Segment Tree或树状数组。
4. 查询LCE：利用RMQ数据结构，可以在常数时间内查询两个后缀的最长公共后缀长度。

以下是一个示例代码片段用于计算LCE问题：

def create_suffix_array(string):
    suffixes = [(string[i:], i) for i in range(len(string))]
    suffixes.sort(key=lambda x: x[0])
    return [suffix[1] for suffix in suffixes]

def create_lcp_array(string, suffix_array):
    lcp = [0] * len(string)
    rank = [0] * len(string)
    for i in range(len(string)):
        rank[suffix_array[i]] = i
 
    k = 0
    for i in range(len(string)):
        if rank[i] == len(string) - 1:
            k = 0
            continue
        j = suffix_array[rank[i] + 1]
        while i + k < len(string) and j + k < len(string) and string[i+k] == string[j+k]:
            k += 1
        lcp[rank[i]] = k
        if k > 0:
            k -= 1
    return lcp

def create_rmq_structure(lcp_array):
    n = len(lcp_array)
    k = int(math.log2(n)) + 1
    lookup = [[0] * (n-k+1) for _ in range(k)]
    lookup_length = [0] * (n-k+1)
 
    for i in range(n):
        lookup[0][i] = lcp_array[i]
 
    j = 1
    while (1 << j) <= n:
        i = 0
        while i + (1 << j) - 1 < n:
            if lookup[j-1][i] <= lookup[j-1][i + (1 << (j-1))]:
                lookup[j][i] = lookup[j-1][i]
            else:
                lookup[j][i] = lookup[j-1][i + (1 << (j-1))]
            i += 1
        lookup_length[i - (1 << (j-1))] = j
        j += 1
 
    return lookup, lookup_length
 
def query_lce(lookup, lookup_length, l, r):
    j = lookup_length[r - l + 1]
    return min(lookup[j][l], lookup[j][r - (1 << j) + 1])

总结

最长的公共扩展名LCE问题是一个经典的字符串比较和近似搜索问题，可以通过将其转化为RMQ问题来得到高效的解决方法。LCE问题在许多领域中都有广泛的应用，特别是在文本处理、数据压缩和生物信息学等领域。了解LCE问题以及其解决方法可以帮助程序员设计和实现更高效的字符串匹配和近似搜索算法。

参考资料：

• Longest Common Extension
• Succinct Orthogonal Range Search Structures on a Grid
• A Survey of Longest Common Extension Applications