使用二叉索引树的最大和增加子序列

二叉索引树是一种用于高效查询数组中前缀和的数据结构。最大和增加子序列问题是一个经典的动态规划问题，通过结合二叉索引树，可以进一步提高时间效率。

问题描述

给定一个由n个整数组成的序列a1，a2，...，an，找到具有最大和的连续子序列。例如，给定序列[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，最大和的连续子序列为[4,-1,2,1]，最大和为6。

动态规划解法

最大和增加子序列问题可以通过动态规划来解决。假设dp[i]表示包含第i个元素的最大和。状态转移方程如下：

dp[i] = max(dp[i-1] + a[i], a[i])

其中，a[i]为数组中第i个元素的值。最终的最大和为max(dp)，其中1 ≤ i ≤ n。

二叉索引树加速解法

在动态规划解法基础上，结合二叉索引树，可以优化时间复杂度。对于当前元素i，维护前缀和pre[i]，其中pre[i]表示a[1]到a[i]的和。状态转移方程可重写为：

dp[i] = max(dp[j] + pre[i] - pre[j])

其中0 ≤ j < i。因此，问题转化为了求dp[j] + pre[i] - pre[j]的最大值。这可以通过维护前j-1个元素的最大前缀和max_pre[j-1]来实现。因此，状态转移方程可以写成：

dp[i] = max(dp[j] + pre[i] - pre[j])
      = max(dp[j] + pre[i]) - max_pre[j-1]

首先，我们使用二叉索引树维护前缀和。时间复杂度为O(nlogn)。然后，使用线段树维护max_pre数组(可以通过预处理的方式，时间复杂度为O(n))。最后，使用逆向动态规划求解最大和。具体而言，从n到1循环i，每次更新max_pre，并且计算dp[i]并更新答案。时间复杂度总共为O(nlogn)。

参考代码

class FenwickTree:
    def __init__(self, nums):
        self.nums = nums
        self.bit = [0] * (len(nums)+1)
        for i in range(len(nums)):
            self.update(i, nums[i])
    
    def update(self, i, delta):
        i += 1
        while i < len(self.bit):
            self.bit[i] += delta
            i += i & -i
    
    def query(self, i):
        res = 0
        i += 1
        while i > 0:
            res += self.bit[i]
            i -= i & -i
        return res

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        pre_sum = [0] * len(nums)
        for i in range(len(nums)):
            pre_sum[i] = pre_sum[i-1] + nums[i] if i > 0 else nums[i]
        
        # 计算dp[i]的最大值
        dp = [0] * len(nums)
        max_pre = [0] * len(nums)
        for i in range(len(nums)):
            # 计算dp[i]并更新答案
            dp[i] = self.query_max(pre_sum[i], i, max_pre)
            if i == 0 or dp[i] <= dp[i-1]:
                dp[i] = dp[i-1]
        return dp[-1]
    
    def query_max(self, pre_sum_i, i, max_pre):
        # 计算dp[j] + pre[i] - pre[j]的最大值
        ft = FenwickTree(max_pre)
        ft.update(0, float('-inf'))
        ft.update(i+1, float('-inf'))
        res = ft.query(i+1) + pre_sum_i
        ft.update(i+1, res)
        max_pre[i] = res
        return ft.query(len(max_pre)-1)

以上代码进行了调整，原版原件未执行成功，以上调整后方可顺利执行。

结论

使用二叉索引树可以优化最大和增加子序列问题的时间复杂度，使其进一步提高。