将子数组和与其最小元素的乘积最大化

什么是子数组和与其最小元素的乘积？

子数组和是指一个数组中某个连续子数组内各个元素的和。最小元素是指子数组中的最小值。

什么意思是将子数组和与其最小元素的乘积最大化？

在给定一个数组的情况下，我们需要在该数组的所有子数组中找到一个子数组，使得这个子数组中的所有元素之和与该子数组中的最小元素的乘积最大。

算法简介

要找到最大化子数组和与其最小元素的乘积的子数组，有一种巧妙的算法：单调栈。

单调栈是一种栈，其中的元素保持单调递增或单调递减。单调栈在处理数组的过程中，可以快速找到每个元素向左或向右第一个比它小（或比它大）的元素。

在此问题中，我们需要找到每个元素向左或向右第一个比它小的元素。当我们找到了这个元素时，我们就有了一个子数组，它的最小元素是我们刚刚找到的这个元素，它的和可以通过在这个元素和它左边元素之间的区间内使用前缀和来计算。我们需要计算每个子数组的和与最小元素的乘积，并将其与当前最大值进行比较。

时间复杂度

单调栈算法的时间复杂度为O(n)，其中n是数组长度。由于我们只遍历数组一次，因此这个算法的时间复杂度是线性的，非常高效。

代码

Python

def max_sum_times_min(nums):
    stack = []
    n = len(nums)
    left_min = [0] * n
    right_min = [0] * n
    # 计算每个元素向左或向右第一个比它小的元素
    for i in range(n):
        while stack and nums[stack[-1]] > nums[i]:
            stack.pop()
        left_min[i] = stack[-1] if stack else -1
        stack.append(i)
    stack = []
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        while stack and nums[stack[-1]] > nums[i]:
            stack.pop()
        right_min[i] = stack[-1] if stack else n
        stack.append(i)
    res = 0
    # 计算每个子数组的和与最小元素的乘积，并将其与当前最大值进行比较
    for i in range(n):
        res = max(res, nums[i] * (pre[right_min[i] - 1] - pre[left_min[i]]))
    return res

Java

public static int maxSumTimesMin(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    int[] leftMin = new int[n];
    int[] rightMin = new int[n];
    // 计算每个元素向左或向右第一个比它小的元素
    Stack<Integer> stack = new Stack<>();
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        while (!stack.isEmpty() && nums[stack.peek()] > nums[i]) {
            stack.pop();
        }
        leftMin[i] = stack.isEmpty() ? -1 : stack.peek();
        stack.push(i);
    }
    stack.clear();
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        while (!stack.isEmpty() && nums[stack.peek()] > nums[i]) {
            stack.pop();
        }
        rightMin[i] = stack.isEmpty() ? n : stack.peek();
        stack.push(i);
    }
    int res = 0;
    // 计算每个子数组的和与最小元素的乘积，并将其与当前最大值进行比较
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        res = Math.max(res, nums[i] * (pre[rightMin[i] - 1] - pre[leftMin[i]]));
    }
    return res;
}

C++

int maxSumTimesMin(vector<int>& nums) {
    int n = nums.size();
    stack<int> st;
    vector<int> left_min(n);
    vector<int> right_min(n);
    // 计算每个元素向左或向右第一个比它小的元素
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        while (!st.empty() && nums[st.top()] > nums[i]) {
            st.pop();
        }
        left_min[i] = st.empty() ? -1 : st.top();
        st.push(i);
    }
    st = stack<int>();
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        while (!st.empty() && nums[st.top()] > nums[i]) {
            st.pop();
        }
        right_min[i] = st.empty() ? n : st.top();
        st.push(i);
    }
    int res = 0;
    // 计算每个子数组的和与最小元素的乘积，并将其与当前最大值进行比较
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        res = max(res, nums[i] * (pre[right_min[i] - 1] - pre[left_min[i]]));
    }
    return res;
}

总结

本文介绍了一种用单调栈最大化子数组和与最小元素乘积的巧妙算法，以及在Python、Java和C++中的实现方法。由于该算法具有线性时间复杂度，因此非常高效，在解决类似问题时具有很广泛的应用价值。