求不超过 N 的最大回文数

回文数是指正序和倒序相同的数字。我们要找到两个三位数的乘积，使得它们的乘积是一个不超过给定数 N 的最大回文数。

解决方案

我们可以使用暴力搜索的方法来解决这个问题。我们从两个三位数的最大值开始，依次递减，找到第一个乘积是回文数且不超过 N 的两个三位数。

在搜索过程中，我们可以使用一个辅助函数来判断一个数字是否是回文数。

def is_palindrome(n):
    return str(n) == str(n)[::-1]

然后我们可以按照下面的步骤来解决问题：

1. 初始化两个三位数的最大值 num1 和 num2 为 999。
2. 从 num1 * num2 开始，依次递减，直到找到第一个乘积是回文数且不超过 N 的两个三位数。
3. 返回这个乘积作为结果。

下面是用 Python 编写的完整代码：

def is_palindrome(n):
    return str(n) == str(n)[::-1]

def find_largest_palindrome(N):
    num1 = num2 = 999
    while num1 >= 100:
        while num2 >= num1:
            if num1 * num2 <= N and is_palindrome(num1 * num2):
                return num1 * num2
            num2 -= 1
        num1 -= 1
        num2 = 999
    
    return -1  # 如果找不到满足条件的乘积，返回 -1

N = 1000
largest_palindrome = find_largest_palindrome(N)
print(largest_palindrome)

性能优化

上述的解决方案在最坏情况下需要遍历所有的三位数的乘积，时间复杂度为 O(10^6)。我们也可以进行一些性能优化来减少搜索的范围。

根据乘积的特点，我们可以将问题转化为搜索二位数的回文数。具体步骤如下：

1. 初始化一个初始回文数 palindrome 为 99999。
2. 从 palindrome 开始，依次递减，找到第一个不超过 N 的回文数。
3. 从 palindrome 的平方根开始，递减找到第一个可以整除 palindrome 的两个三位数，这两个三位数的乘积就是我们要找的结果。

下面是优化后的代码：

import math

def is_palindrome(n):
    return str(n) == str(n)[::-1]

def find_largest_palindrome(N):
    palindrome = 99999

    while palindrome >= 10000:
        if palindrome > N or not is_palindrome(palindrome):
            palindrome -= 1
            continue
            
        sqrt_palindrome = math.isqrt(palindrome)
        for i in range(990, 99, -11):
            if palindrome % i == 0 and palindrome // i < 1000:
                return palindrome
        
        palindrome -= 1
    
    return -1  # 如果找不到满足条件的乘积，返回 -1

N = 1000
largest_palindrome = find_largest_palindrome(N)
print(largest_palindrome)

这种优化方法将时间复杂度降低到了 O(10^3)，可以更快地找到结果。

以上就是求不超过 N 的最大回文数的解决方案和优化方法的介绍。希望对你有帮助！