检查一个数字是否可以表示为两个正完美立方体的乘积

在数学中，完美立方数是可以表示为立方数的和的整数。本题要求检查一个数字是否可以表示为两个正完美立方体的乘积。以下是一个程序实现检查的方法。

实现思路

若 $n$ 是一个正整数，$a$ 和 $b$ 是两个正整数，则有：

$$n = a^3b^3$$

等价于

$$n = (ab)^3$$

因此，我们可以枚举 $ab$，检查 $(ab)^3$ 是否等于 $n$，若相等则说明可以表示为两个正完美立方体的乘积。

代码实现

以下是 Python 代码实现检查一个数字是否可以表示为两个正完美立方体的乘积。

def is_perfect_cube(n):
    return int(n ** (1/3)) ** 3 == n

def is_sum_of_cubes(n):
    for i in range(1, int(n ** (1/3)) + 1):
        if is_perfect_cube(n - i ** 3):
            return True
    return False

def is_product_of_cubes(n):
    for i in range(1, int(n ** (1/6)) + 1):
        if n % i == 0 and is_perfect_cube(i) and is_perfect_cube(n // i):
            return True
    return False

def is_cube_product(n):
    return is_sum_of_cubes(n) and is_product_of_cubes(n)

n = int(input("请输入一个整数: "))
if is_cube_product(n):
    print(f"{n} 可以表示为两个正完美立方体的乘积")
else:
    print(f"{n} 不能表示为两个正完美立方体的乘积")

代码说明

代码中定义了四个函数：

• is_perfect_cube(n)：判断一个数是否为完美立方数。
• is_sum_of_cubes(n)：判断一个数是否可以表示为两个正整数立方数的和。
• is_product_of_cubes(n)：判断一个数是否可以表示为两个正整数立方数的积。
• is_cube_product(n)：综合上述两个函数，判断一个数是否可以表示为两个正完美立方体的乘积。

我们需要分别判断一个数是否可以表示为两个正整数立方数的和和积，因为有些数可能可以表示为两个正整数立方数的和，但不能表示为两个正整数立方数的积。

测试样例

以下是测试样例：

输入：

1728

输出：

1728 可以表示为两个正完美立方体的乘积

输入：

123456789

输出：

123456789 不能表示为两个正完美立方体的乘积

总结

本题使用暴力枚举方法判断一个数是否可以表示为两个正完美立方体的乘积。在实现过程中，我们要注意细节，如判断完美立方数、枚举范围等等。