最小化数组成本

问题描述

给定一个由整数构成的数组nums和一个整数K。定义一次操作为将该数组中长度为K的连续子数组的元素的和替换为该子数组中所有元素的总和。返回将数组最终降维为单个元素的最小操作次数。

解决思路

假设当前子数组的范围为[i, i+K-1]，那么将该子数组中所有元素的总和替换成新元素v，相当于将原来的nums[i:i+K]替换成长度为K-1的数组[nums[0:i], v, nums[i+K:]]。这个操作会将数组长度减少K-1。

为了尽可能地减少数组长度，每次操作都应该是替换数组中和最小的一个子数组，可以用一个优先队列（堆）来维护数组中所有长度为K的子数组的和。每次取出队头元素并将对应的子数组替换掉即可。

需要注意的是，每次操作之后数组的长度会减少K-1，需要注意循环的结束条件。

代码实现

import heapq

def min_cost(nums, K):
    heap = [(sum(nums[i:i+K]), i) for i in range(len(nums)-K+1)]  # 初始时将所有长度为K的子数组的和加入堆中
    heapq.heapify(heap)
    cost = 0
    while len(heap) > 1:
        s, i = heapq.heappop(heap)  # 取出和最小的子数组
        cost += s
        j = i+K-1
        nums[i:j+1] = [s]  # 替换掉子数组
        # 更新堆中与子数组有重叠的子数组的和
        if i > 0:
            heapq.heappush(heap, (sum(nums[i-K:i]), i-K))
        if j < len(nums)-K:
            heapq.heappush(heap, (sum(nums[j+1:j+K+1]), j+1))
    return cost

复杂度分析

时间复杂度：$O(n \log n)$，其中$n$为数组长度，由于每次只会将长度为$K$的子数组放入堆中一次，因此共有$\frac{n}{K}$个元素被放入堆中。每次从堆中弹出一个数需要$O(\log n)$的时间，因此总时间复杂度为$O(n \log \frac{n}{K}) = O(n \log n)$。

空间复杂度：$O(n)$，最坏情况下需要维护整个原始数组。