通过放置 K 1 来最小化从矩阵左上角到右下角的唯一路径数

问题描述

假设存在一个 $m \times n$ 的矩阵，矩阵中的每个元素都是 0 或 1。现在你可以放置 K 个 1 到矩阵中。你的目的是通过这些 1 来最小化从矩阵左上角到右下角的唯一路径数。

解决方案

这是一个典型的最短路问题，可以使用 Dijkstra 算法进行解决。具体来说，我们可以把矩阵看做一个有向图，每个格子看做一个顶点，相邻的格子之间如果都是 1 那么它们之间连一条长度为 1 的边，否则不连边。这样一来，我们就得到了一个有向无权图，可以使用 Dijkstra 算法来求从左上角到右下角的最短路径。只不过这个算法的时间复杂度是 $O(mn \log(mn))$，有一定的局限性。

更好的做法是使用二分答案来优化，具体可以用双指针进行实现。我们二分路径的长度，在此长度限制下，使用双指针在矩阵中搜索是否存在 K 个 1，如果存在，那么当前路径长度可行，我们向短路径搜索；否则当前路径长度不可行，我们向长路径搜索。直到最后找到最短路径或者最长路径时，就可以得到最终的答案。

下面给出这个算法的详细实现：

from typing import List

class Solution:
    def minPath(self, matrix: List[List[int]], K: int) -> int:
        m, n = len(matrix), len(matrix[0])
        left, right = 0, m+n-2
     
        def check(mid: int) -> bool:
            cnt = 0
            i, j = 0, 0
            while i < m and j < n:
                if matrix[i][j] == 0:
                    if i+j > mid:
                        return False
                    j += 1
                else:
                    if i+j > mid:
                        j = mid-i
                    cnt += 1
                    i += 1
                    j += 1
            return cnt <= K
        
        while left < right:
            mid = (left+right) // 2
            if check(mid):
                right = mid
            else:
                left = mid+1
        
        return left

其中，函数 check 是核心部分，用来检查当前路径长度在二分范围内是否可行。它的实现思路就是在矩阵中使用双指针依次搜索，如果遇到了 0，就继续向右搜索；如果遇到了 1，就看当前的路径长度是否小于等于中间值，如果是，那么路径长度可行，cnt 加 1，继续向右搜索；如果否，那么路径长度不可行，返回 False。最后比较 cnt 和 K 的大小关系即可得到结果。

总结

这道题目考察了对最短路问题的理解和二分答案的运用，是一道较为综合性的题目。对于算法的时间复杂度分析和代码实现也需要一定的功力，但是这只是编程学习中的一小部分，希望大家在多练习中不断提升自己的编程技能。