给定N元树的每个顶点的最大子树总和

问题描述

给定一棵N元树，求每个顶点的最大子树总和。

解决方案

本问题可以通过树形DP的方式进行求解。

树形DP的思想是利用分治法和动态规划的方法，根据当前节点的子节点的状态，推导出当前节点的状态，并最终得到问题的解。

具体方法为，对于一颗N元树，假设已经得到了每个子节点的最大子树总和，那么当前节点的最大子树总和可以通过以下方式计算：

1. 设当前节点为root，其子节点为c1, c2, ..., cn。
2. 对于每个子节点ci，可以计算出以ci为子树的最大子树总和f[ci]。
3. 对于当前节点root，节点root的最大子树总和为节点root的自身权值加上其子节点的最大子树总和之和，即f[root] = sum{f[ci]} + root.val。
4. 对于整棵N元树，最大子树总和即为每个节点最大子树总和的最大值。

使用memo数组记录每个节点的最大子树总和，避免重复计算。如下是具体的实现方式：

class Node:
    def __init__(self, val):
        self.val = val
        self.children = []

def tree_max_subtree(node, memo):
    if not node.children:
        memo[node] = node.val
        return memo[node]
    children_sum = 0
    for child in node.children:
        if child not in memo:
            memo[child] = tree_max_subtree(child, memo)
        children_sum += memo[child]
    memo[node] = node.val + children_sum
    return memo[node]

def max_subtree(tree_root):
    memo = dict()
    tree_max_subtree(tree_root, memo)
    return max(memo.values())

时间复杂度

本算法的时间复杂度为O(n)，其中n为树中节点的数量。

空间复杂度

本算法使用了memo字典记录每个节点的最大子树总和，因此空间复杂度为O(n)。