题目介绍

给定集合{1,2,...,n}，求它在字典序中的最小排列，要求输出其中不和位置匹配的数字。

例如，当n=3时，集合{1,2,3}在字典序中的排列为{1,2,3}、{1,3,2}、{2,1,3}、{2,3,1}、{3,1,2}、{3,2,1}，其中数字1和3的位置不匹配。

此题需要注意的是，输出的是不匹配的数字，而非不匹配数字的数量。

解题思路

要想求集合在字典序中的最小排列，我们需要先了解字典序排列的规律。

对于长度为n的排列来说，字典序的排列方式为：

1.从后往前找到第一个满足p[i]<p[i+1]的位置i；

2.从i+1到n中找到最小的j满足p[j]>p[i]；

3.交换p[i]和p[j]；

4.将i+1到n中的数字按照从小到大的顺序排列。

按照上述规律，我们可以用递归的方式求得集合在字典序中的最小排列。另外，我们还需记录下在排列过程中不和位置匹配的数字。

具体而言，假设当前已经有了前i个数字的排列，我们需要求的是其后n-i个数字的排列。我们可以对后n-i个数字进行全排列，然后找到其中不和前面已经排列好的部分匹配的数字，记录下来，并以此继续递归求解。

代码实现

下面是基于Python的代码实现。代码采用了递归的方式解决问题。递归函数中，参数p表示已经排列好的前缀，参数q表示还未排列的后缀，参数inv表示在排列过程中不匹配的数字。函数返回值为排列好的数字和不匹配的数字。

def permute(p, q):
    n = len(q)
    if n == 1:
        return p + q, [] if p[-1] == q[0] else [q[0]]

    min_inv = None
    min_perm = None
    for i in range(n):
        subq = q[:i] + q[i+1:]
        subp, subinv = permute(p+[q[i]], subq)
        inv_num = [q[i]] + subinv if p[-1] != q[i] else subinv
        inv = len(inv_num)
        if not min_inv or inv < min_inv:
            min_inv = inv
            min_perm = subp
            min_inv_num = inv_num

    return min_perm, min_inv_num

结束语

本题利用了字典序排列的规律，用递归的方式实现了求解集合在字典序中的最小排列，并记录不匹配的数字。代码实现简单，但思路需仔细理解。