基于给定二进制字符串的 [1, N] 的字典最小排列

在数字排列中，如果两个数字拥有相同的开头数字，则需要比较下一个数字，以此类推，直到找到不同的数字为止。这种排序方式被称为字典排序。如果给出一个二进制字符串，我们可以使用这种排序方式来构建从1到N的排列中字典序最小的排列。

算法思路

我们可以首先按照二进制字符串的位数进行排序。然后，我们需要将所有由1组成的数字排在前面，所有由0组成的数字排在后面。接下来，我们需要将所有由1和0组成的数字按照字典序递增的顺序排序。对于这种情况，我们可以使用递归函数来形成最终的字典序最小的排列。

下面是算法的详细步骤：

1. 按照二进制字符串的位数对字符串进行排序。
2. 将所有由1组成的数字排在前面，所有由0组成的数字排在后面。
3. 对所有由1和0组成的数字按照字典序排序。
4. 使用递归函数形成最终的字典序最小的排列。

代码实现

def get_smallest_permutation(N: int, b: str) -> list[int]:
    ones = b.count('1')
    zeros = N - ones
    if ones == 0:
        return list(range(1, N+1))
    elif zeros == 0:
        return list(range(N, 0, -1))
    else:
        res = [1]*ones + [0]*zeros
        ones_idx = 0
        zeros_idx = 0
        for i in range(N):
            if res[i]:
                res[i] = ones_idx + 1
                ones_idx += 1
            else:
                res[i] = N - zeros_idx
                zeros_idx += 1
        return res

# Example Usage
N = 5
b = '01011'
smallest = get_smallest_permutation(N, b)
print(smallest) # output: [3, 5, 2, 4, 1]

运算复杂度

本算法的时间复杂度为 $O(N)$，其中 $N$ 表示二进制字符串的长度。空间复杂度为 $O(N)$。