Fenwick 树中的 binpow - C++

简介

Fenwick 树（也称为 Binary Indexed Tree，树状数组）是一种高效的数据结构，用于支持高效地计算数列的前缀和和更新操作。在 Fenwick 树中使用 binpow（二分幂）操作可以进一步优化计算。

本文将介绍 Fenwick 树中的 binpow 操作，并提供相应的 C++ 代码示例。

Fenwick 树的 binpow 操作

Fenwick 树中的 binpow 操作指的是使用二分幂来计算 Fenwick 树的更新和查询操作。

二分幂

二分幂是一种非常高效的求幂计算方法。对于一个数 x，它的二分幂可以通过以下方式计算：

1. 如果指数 n 为 0，结果为 1。
2. 如果指数 n 为偶数，结果为 binpow(x, n/2) * binpow(x, n/2)。
3. 如果指数 n 为奇数，结果为 x * binpow(x, (n-1)/2) * binpow(x, (n-1)/2)。

这种方法可以将求幂的时间复杂度从 O(n) 降低到 O(logn)。

Fenwick 树中的 binpow

在 Fenwick 树中，我们可以使用二分幂来计算更新和查询操作的结果。具体步骤如下：

1. 计算当前位置 index 的最低位的 1 的个数，将其记为 lowbit。可以通过 index & -index 得到。
2. 根据 lowbit 的值，我们可以将 Fenwick 树的计算分为两个部分：
   • 计算 sum，即前缀和。这可以通过迭代求和 sum += fenwick[index] 实现，其中 index &= index - 1。
   • 计算 update，即更新操作。这可以通过迭代更新 fenwick[index] += delta 实现，其中 index += index & -index。

C++ 代码示例

下面是一个实现了 Fenwick 树中的 binpow 操作的简单示例代码：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

// 计算当前位置的最低位的 1 的个数
int lowbit(int x) {
    return x & -x;
}

// 更新指定位置的数值
void update(vector<int>& fenwick, int index, int delta) {
    while (index < fenwick.size()) {
        fenwick[index] += delta;
        index += lowbit(index);
    }
}

// 计算前缀和
int sum(vector<int>& fenwick, int index) {
    int result = 0;
    while (index > 0) {
        result += fenwick[index];
        index &= index - 1;
    }
    return result;
}

int main() {
    // 初始化原始数据
    vector<int> original_data = {1, 3, 5, 7, 9};

    // 构建 Fenwick 树
    vector<int> fenwick(original_data.size() + 1, 0);
    for (int i = 0; i < original_data.size(); i++) {
        update(fenwick, i + 1, original_data[i]);
    }

    // 查询前缀和
    int prefix_sum = sum(fenwick, 3);
    cout << "前缀和为：" << prefix_sum << endl;

    // 更新数值
    int index = 2;
    int delta = 2;
    update(fenwick, index + 1, delta);

    // 查询更新后的前缀和
    prefix_sum = sum(fenwick, 3);
    cout << "更新后的前缀和为：" << prefix_sum << endl;

    return 0;
}

以上代码实现了一个基本的 Fenwick 树，并使用了 binpow 操作进行计算。你可以根据实际需要进行修改和扩展。

总结

本文介绍了 Fenwick 树中的 binpow 操作，以及如何应用二分幂来进一步优化计算。Fenwick 树是一种非常实用的数据结构，能够高效地进行前缀和和更新操作。通过使用 binpow，我们可以进一步提高 Fenwick 树的性能。

希望本文对你理解和使用 Fenwick 树中的 binpow 操作有所帮助！