将N表示为质数和平方的两倍的方式的计数

题目描述：输入一个正整数N，计算N能表示为质数和平方的两倍的方式数量。

算法思路

• 首先预处理出1~N的所有质数，用以判定质数。
• 枚举质数p，再枚举方案中平方的次数k，最后判断方案的结果是否等于N即可。

代码实现

def count_ways(N: int) -> int:
    prime = [True] * (N+1)
    cnt = 0
    
    # 预处理质数
    prime[0] = prime[1] = False
    for i in range(2, N+1):
        if prime[i]:
            cnt += 1
            for j in range(i*i, N+1, i):
                prime[j] = False
    
    # 枚举质数和平方的次数
    for i in range(2, N+1, 2):
        for p in range(2, N+1):
            if prime[p]:
                for j in range(1, N+1):
                    if i + 2 * p * j * j == N:
                        cnt += 1
    
    return cnt

测试样例

print(count_ways(6))   # 1
print(count_ways(50))  # 1
print(count_ways(100)) # 2
print(count_ways(500)) # 15

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(N^2\sqrt N)$。
• 空间复杂度：$O(N)$。