GATE-CS-2017（套装1）|问题 20

该问题是关于算法复杂度和递归的。给定$n$和一个关于$n$的递归函数$f(n)$，计算$f(n)$的时间复杂度。

解题思路

• 分析递归函数，计算每次递归调用的时间复杂度
• 计算递归树的深度
• 计算递归树的总结点数
• 用求和公式计算时间复杂度

代码实现

以下是一个递归函数的示例：

def f(n):
    if n == 0:
        return 1
    else:
        return f(n-1) + f(n-1)

• 第一步是对函数进行分析，每次递归调用是$f(n-1)$，因此时间复杂度是$T(n) = 2T(n-1)$。
• 第二步是计算递归树的深度。因为每次调用函数的参数都是$n-1$，当$n=0$时，递归结束，深度为$0$。因此递归树的深度为$n$。
• 第三步是计算递归树的总结点数。因为每个结点会产生两个子结点，递归树的总结点数是$2^{n+1}-1$。
• 最后一步是利用求和公式计算时间复杂度：

$$ T(n) = 2T(n-1) \ = 2^2T(n-2) \ = 2^3T(n-3) \ \cdots \ = 2^nT(0) \ = 2^n $$

因此，时间复杂度为$O(2^n)$。

总结

在这个问题中，我们需要理解递归函数和递归树，计算时间复杂度的过程也需要对数学公式的理解和应用。熟悉这些概念和方法后，对计算时间复杂度和算法优化有很大的帮助。