由取自范围 [L, R] 的 N 个数字形成的不同和的计数

当我们面对由取自范围 [L, R] 的 N 个数字形成的不同和的计数问题时，我们需要设计一个算法来解决它。本文将介绍一个基于动态规划的解决方案。

问题描述

给定一个整数范围 [L, R] 和一个正整数 N，求出所有由取自该范围的 N 个数字形成的不同和的计数。

解决方案

我们可以使用动态规划来解决这个问题。我们定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示使用前 i 个数字来形成和为 j 的不同组合数。

算法的思路如下：

1. 初始化 dp 数组，将 dp[i][j] 的值都设为 0。
2. 对于 dp[0][j]，表示使用 0 个数字形成和为 j 的计数，我们将其设为 1。
3. 遍历 i 从 1 到 N，对于每个数字 num 从 L 到 R：
   • 遍历 j 从 num 到 R：
     • 对于 dp[i][j]，我们有两种选择：
       1. 使用前 i-1 个数字形成和为 j 的计数，即 dp[i-1][j]。
       2. 使用前 i-1 个数字形成和为 j-num 的计数，即 dp[i-1][j-num]。
     • 将以上两种选择的计数相加，即 dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-num]。
4. 最终结果为 dp[N][R]，即使用前 N 个数字形成和为 R 的不同组合数。

下面是使用 JavaScript 实现这个算法的代码片段：

function countDifferentSums(L, R, N) {
    const dp = Array(N + 1).fill(0).map(() => Array(R + 1).fill(0));
    for (let j = L; j <= R; j++) {
        dp[0][j] = 1;
    }
    for (let i = 1; i <= N; i++) {
        for (let num = L; num <= R; num++) {
            for (let j = num; j <= R; j++) {
                dp[i][j] += dp[i - 1][j - num];
            }
        }
    }
    return dp[N][R];
}

该算法的时间复杂度为 O(N * (R-L+1) * (R-L+1))，空间复杂度为 O(N * (R-L+1))。

总结

通过使用动态规划算法，我们可以解决由取自范围 [L, R] 的 N 个数字形成的不同和的计数问题。算法的思路是使用二维数组保存中间结果，通过递推关系式求解最终结果。这种方法在空间和时间复杂度上都比较高效。

注意，这只是一种可能的解决方案，根据具体情况可能还有其他更高效的算法可供选择。