由字符串 S 作为子字符串恰好 K 次组成的最小字符串

当我们需要构造一个包含字符串 S 恰好 K 次的字符串时，我们可以采用以下算法：

1. 先找到一个最小的循环节 T，使得 S 是 T 的子串。可以使用 KMP 或 Z 算法来实现。
2. 假设 S 的长度为 n，T 的长度为 m，我们需要至少重复 T ceiling(n/m) 次才能包含 S，其中 ceiling(n/m) 表示 n/m 的上取整。
3. 为了减少重复次数，我们可以将 T 连接若干次，直到长度大于等于 ceiling(n/m) * m，然后截取前 ceiling(n/m) * m 个字符即可。

以下是一个具体实现的 Python 代码片段：

def min_string(s: str, k: int) -> str:
    # 使用 KMP 算法找到 S 的最小循环节 T
    next_arr = [0] * len(s)
    i, j = 1, 0
    while i < len(s):
        if s[i] == s[j]:
            j += 1
            next_arr[i] = j
            i += 1
        elif j > 0:
            j = next_arr[j-1]
        else:
            i += 1
    t = s[:next_arr[-1]]

    # 构造最小字符串
    repeat_count = (len(s) + len(t) - 1) // len(t)
    repeat_str = t * repeat_count
    return repeat_str[:len(s)*k]

该代码片段的时间复杂度为 O(n)，其中 n 是字符串 S 的长度。由于 KMP 算法的时间复杂度为 O(n)，所以总复杂度为 O(n)。