题目描述

给定一个矩阵，每个位置可以是0或1。从矩阵的任意一个位置出发，沿着上下左右的方向移动，直到到达目的地。要求找出从给定的源位置到目的地的所有唯一路径，并返回路径数。

示例

例如，给定以下矩阵和源位置（0, 0）和目的地位置（2， 2）：

[1, 0, 0],
[1, 1, 0],
[0, 1, 1]

为了从源到目的地的所有路径，你可以从如下节点开始：

(0, 0)

所以共有如下路径：

(0, 0) -> (1, 0) -> (1, 1) -> (2, 1) -> (2, 2)
(0, 0) -> (1, 0) -> (1, 1) -> (1, 2) -> (2, 2)

则函数应该返回2。

要求

函数原型如下：

def unique_paths_count(matrix: List[List[int]], source: Tuple[int, int], destination: Tuple[int, int]) -> int:
    pass

• matrix由0和1组成的矩阵，0表示不能通过，1表示可以通过
• source表示起点，数据格式为(行号, 列号)
• destination表示终点，数据格式为(行号, 列号)
• 函数应该返回所有从源位置到目标位置的唯一路径数

解题思路

这是一道典型的图问题，可以使用DFS（深度优先搜索）或BFS（广度优先搜索）等算法来解决。DFS算法通常使用递归来实现，BFS算法通常使用队列来实现。

在此题中，可以使用DFS算法解答。

大致思路：

1. 判断当前位置是不是终点，如果是，返回1
2. 对于当前结点的上下左右四个方向：
   • 如果该位置在矩阵范围内且是可以通过的，就继续搜索
   • 如果该位置已经被访问过，就跳过
3. 将当前结点标记为已访问
4. 对于上一步搜索返回的结果，累加到总路径数中
5. 将当前结点标记为未访问
6. 返回总路径数

代码实现

from typing import List, Tuple

def unique_paths_count(matrix: List[List[int]], source: Tuple[int, int], destination: Tuple[int, int]) -> int:
    visited = [[False for _ in range(len(matrix[0]))] for _ in range(len(matrix))]
    return dfs(matrix, source, destination, visited)

def dfs(matrix: List[List[int]], source: Tuple[int, int], destination: Tuple[int, int], visited: List[List[int]]) -> int:
    if source == destination:
        return 1
    paths = 0
    directions = [(0, 1), (1, 0), (0, -1), (-1, 0)]
    for d in directions:
        r = source[0] + d[0]
        c = source[1] + d[1]
        if 0 <= r < len(matrix) and 0 <= c < len(matrix[0]) and matrix[r][c] == 1 and not visited[r][c]:
            visited[r][c] = True
            paths += dfs(matrix, (r, c), destination, visited)
            visited[r][c] = False
    return paths

性能分析

• 时间复杂度：$O(2^m * 2^n)$，其中$m$和$n$分别为矩阵的行数和列数。由于在最坏情况下，需要遍历所有的路径，因此需要的时间为指数级别。
• 空间复杂度：$O(m * n)$。递归调用栈的深度等于图的直径，最差情况下每个结点都会被访问一次。同时，需要额外使用一个$m \times n$的 visited 数组来记录每个结点是否被访问过。