Javascript 程序查找最小插入以形成回文| DP-28

在字符串中找到最小插入次数，以使其成为回文串。DP(dynamic programming)是一种可行的方法来解决这类问题。

状态定义

设字符串为 s，则我们定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示从 i 到 j 的子串所需的最少插入次数，以使其成为回文串。

转移方程

在进行状态转移时，我们需要分类讨论：

• 若 s[i] == s[j]，则表示当前字符为回文对，因此不需要进行插入，即 dp[i][j] = dp[i+1][j-1]。

• 若 s[i] != s[j]，则需要进行插入操作。有两种情况：

  • 在 s[j] 前插入一个字符，使得 s[j] 和 s[i] 匹配，即 dp[i][j] = dp[i][j-1] + 1。
  • 在 s[i] 后插入一个字符，使得 s[i] 和 s[j] 匹配，即 dp[i][j] = dp[i+1][j] + 1。

我们取两种情况中的最小值，即 dp[i][j] = min(dp[i][j-1], dp[i+1][j]) + 1。

初始状态

当 i == j 时，表示一个字符自身，不需要进行插入，因此 dp[i][j] = 0。

实现

function minInsertions(s) {
  let n = s.length;
  let dp = new Array(n).fill().map(() => new Array(n).fill(0));
  for (let l = 2; l <= n; l++) {
    for (let i = 0; i <= n - l; i++) {
      let j = i + l - 1;
      if (s[i] == s[j]) {
        dp[i][j] = dp[i+1][j-1];
      } else {
        dp[i][j] = Math.min(dp[i][j-1], dp[i+1][j]) + 1;
      }
    }
  }
  return dp[0][n-1];
}

代码中使用了双重循环来计算 dp 数组的值。时间复杂度为 $O(n^2)$。

总结

通过 DP 解决最小插入次数问题的动态转移方程，以及如何处理初始状态，我们可以写出能够解决这个问题的 Javascript 程序。