计数紊乱（排列使得没有元素出现在其原始位置）

计数紊乱是指排列中没有任何一个元素处于其原始位置上的情况。在算法竞赛中，计数紊乱常常被称为全排列中逆序对的数量。

对于一个长度为 n 的排列 $\pi$，逆序对指的是 $1\le i<j\le n$ 且 $\pi_i > \pi_j$ 的数对 $(i,j)$ 的个数。一个排列中逆序对的数量越多，其与有序序列的距离就越远。因此，计数紊乱往往也被称为排列的距离。

计数紊乱在很多计算机科学问题中都有着广泛的应用，例如排序算法、压缩算法、密码学等。

常见算法

暴力算法

暴力算法的思想非常简单，即遍历所有可能的排列，然后统计其中计数紊乱的数量。这种方法虽然比较简单直观，但是由于排列共有 $n!$ 种，因此时间复杂度为 $O(n!)$，难以处理较大规模的问题。

归并排序算法

归并排序算法是一种基于分治思想的排序算法，其核心是对子问题进行递归求解，并将子问题的结果合并为原问题的解。

使用归并排序算法来计算一组排列中的逆序对数量，其基本思想是在合并两个有序数组的过程中，同时统计两个数组之间的逆序对数量。具体地，假设左边数组为 $A[1,2,\dots,m]$，右边数组为 $B[1,2,\dots,n]$，并假设它们已经被排序，那么在合并这两个数组之前，我们可以统计 $A$ 和 $B$ 之间的逆序对数量 $count$。具体地，我们分别定义两个指针 $i$ 和 $j$，遍历两个数组中的元素。如果 $A[i] > B[j]$，那么说明 $A$ 中 $i$ 后面的所有元素都比 $B[j]$ 大，因此可以计算出 $A[i],A[i+1],\dots,A[m]$ 与 $B[j]$ 之间的逆序对数量，即 $count = count + m - i + 1$，并将 $B[j]$ 插入到归并后的数组中。否则，将 $A[i]$ 插入到归并后的数组中。最后，当左边数组或右边数组的元素全部被遍历时，将剩余的元素（如果有）依次插入到归并后的数组中即可。

具体的实现细节可以参考下面的 Python 代码片段。归并排序算法的时间复杂度为 $O(n \log n)$，空间复杂度为 $O(n)$。

def mergeSort(arr):
    def merge(arr, l, m, r):
        nonlocal count
        L, R = arr[l:m+1], arr[m+1:r+1]
        i, j, k = 0, 0, l
        while i < len(L) and j < len(R):
            if L[i] <= R[j]:
                arr[k] = L[i]
                i += 1
            else:
                arr[k] = R[j]
                j += 1
                count += m - i + 1
            k += 1
        while i < len(L):
            arr[k] = L[i]
            i += 1
            k += 1
        while j < len(R):
            arr[k] = R[j]
            j += 1
            k += 1

    def mergeSort(arr, l, r):
        if l < r:
            m = (l + r) // 2
            mergeSort(arr, l, m)
            mergeSort(arr, m+1, r)
            merge(arr, l, m, r)

    count = 0
    mergeSort(arr, 0, len(arr)-1)
    return count

树状数组算法

树状数组（也称为 Fenwick 树）是一种用于维护数组前缀和的数据结构，支持对单个元素的修改和查询以某个位置结尾的前缀和。

使用树状数组来计算一组排列中的逆序对数量，需要对排列中的每个元素，从右往左依次插入到树状数组中，并在插入时同时更新逆序对数量。具体地，假设当前要插入的元素为 $a_i$，我们需要查询树状数组中从 $1$ 到 $a_i$ 的前缀和 $sum$，即 $sum = \sum_{j=1}^{a_i} bit[j]$，其中 $bit[j]$ 表示树状数组中第 $j$ 个元素的值。然后，我们将 $a_i$ 插入到树状数组中，并将逆序对数量更新为 $count = count + i - sum$。

具体的实现细节可以参考下面的 Python 代码片段。树状数组算法的时间复杂度为 $O(n \log n)$，空间复杂度为 $O(n)$。

class FenwickTree:
    def __init__(self, n):
        self.sum = [0] * (n+1)

    def update(self, i, delta):
        while i < len(self.sum):
            self.sum[i] += delta
            i += i & -i

    def query(self, i):
        res = 0
        while i > 0:
            res += self.sum[i]
            i -= i & -i
        return res

def count_inversions(arr):
    n = len(arr)
    bit = FenwickTree(n)
    count = 0
    for i in range(n-1, -1, -1):
        count += bit.query(arr[i]-1)
        bit.update(arr[i], 1)
    return count

小结

计数紊乱问题是算法竞赛中一个经典的问题，常常被用来检验算法设计和实现的能力。本文介绍了常见的两种解决计数紊乱问题的算法：暴力算法、归并排序算法和树状数组算法。如果读者在处理计数紊乱问题时遇到了困难，可以尝试使用这些算法来解决。