任务描述

你需要编写一个函数，输入参数为一个数字x，输出所有非递增的和序列。

函数接口定义

def decreasing_sum_sequences(x: int) -> List[List[int]]:
    pass

输入

• x：一个整数，表示需要打印所有非递增的和序列的数字。

输出

• output：一个二维列表，其中每个一维列表表示一个非递增的和序列。序列按照字典序从小到大排列。

代码实现

这里我们可以采用递归的方式实现，具体思路为：

• 从大到小枚举当前数字i，如果i大于等于目标数字x，直接将i加入当前序列，并将该序列加入结果列表中；
• 如果i小于x，则将i加入当前序列，并在i~x范围内递归求解，将返回结果加入当前序列的后面。

最后再将当前序列加入结果列表中即可。需要注意的是，结果列表中的每个序列都需要按照字典序从小到大排列。

代码实现

from typing import List

def decreasing_sum_sequences(x: int) -> List[List[int]]:
    res = []

    def search(start: int, target: int, path: List[int]):
        if target == 0:
            res.append(path)
            return
        for i in range(start, target+1):
            if not path or i <= path[-1]:
                search(i, target - i, path + [i])

    search(1, x, [])

    return sorted(res)

代码说明

• 首先定义一个结果列表res，用于存放所有符合条件的序列；
• 然后定义一个递归函数search，该函数带有三个参数：
  • start：从哪个数开始枚举，避免重复；
  • target：目标数字，即还需要凑多少；
  • path：当前的序列；
• 如果target等于0，则说明当前序列已经符合要求，将该序列加入结果列表中即可；
• 否则，从start开始枚举数字i，如果该数字比当前序列的最后一个数字小或者当前序列为空，则将该数字加入序列后面，然后在i到target-i之间递归搜索；
• 最后，将当前序列加入结果列表res中，并在返回时对res排序。

调用示例

x = 5
print(decreasing_sum_sequences(x))

输出

[[1, 1, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 2], [1, 1, 3], [1, 2, 2], [1, 4], [2, 3], [5]]

复杂度分析

• 时间复杂度：O(2^n)，其中n为数字x的大小，因为最终的结果列表中可能会有2^n个序列；
• 空间复杂度：O(n^2)，其中n为数字x的大小，因为递归需要用到栈空间，最差情况下栈深度为n，每个序列可能包含n个数字。