可以使用M种颜色填充N个位置的方式，以使得恰好有K对相邻的不同颜色

假设有M种颜色和N个位置，我们需要找到一种填充方式，使得恰好有K对相邻的不同颜色。这是一个经典的组合问题，可以使用组合数学的方法进行求解。

我们可以先考虑只有两种颜色时的情况。假设我们有n个位置，那么有n-1个相邻位置，其中有k个需要是不同的颜色，也就是说，这k个相邻位置只能是"A B A B A B ..."这种形式。因此，我们可以将所有的方案分成两类：以"A"开头和以"B"开头的方案。对于每一种方案，我们需要计算其对应的填充总数。因为对于每一个相邻位置组合，只有两种填充方式可选，即"A B"和"B A"，所以每种方案对应的填充总数为2^(n-1)。

因此，当只有两种颜色时，可以使用下面的公式计算总填充数：

if k*2 != n:
    total_fill = 2**(n-1)
else:
    total_fill = 2**(n-1) - 2**(n-k-1)

当有M种颜色时，我们可以依次考虑每一种颜色选取的情况。假设我们当前选取的是第i种颜色，那么我们需要将所有以第i种颜色填充第一个位置的方案求出来，并加上它们的填充总数。对于每一个以第i种颜色填充第一个位置的方案，我们可以将其转化为使用两种颜色的方案，即将第i种颜色视为"A"，将其它颜色视为"B"，然后按照之前的方法计算填充总数即可。最后，将所有颜色选取的情况对应的填充总数相加，就得到了最终的填充总数。

这个问题可以使用递归的方式求解。具体地，我们可以写一个递归函数 color_fill 帮助我们计算以第i种颜色填充第一个位置的填充总数。然后，在主函数中，我们可以遍历所有颜色，计算它们选取的情况对应的填充总数，并将它们相加即可。

代码实现如下：

from typing import List

def color_fill(n: int, k: int, m: int, i: int, color: List[int], memo: dict) -> int:
    # 如果颜色选取完毕，则返回对应方案的填充总数
    if i == m:
        if k * 2 != n:
            return 2**(n-1)
        else:
            return 2**(n-1) - 2**(n-k-1)

    # 如果之前已经计算过以第i种颜色填充第一个位置的填充总数，
    # 则直接返回之前的结果，否则继续递归计算
    if (i, color[i]) in memo:
        return memo[(i, color[i])]
    else:
        count = 0
        for j in range(n):
            if color[i] == 0 or color[i-1] != j:
                color[i] = j
                count += color_fill(n, k, m, i+1, color, memo)
                color[i] = 0
        memo[(i, color[i])] = count
        return count

def total_fill(n: int, k: int, m: int) -> int:
    count = 0
    for i in range(m):
        color = [0] * m
        # 计算以第i种颜色填充第一个位置的填充总数
        fill = color_fill(n, k, m, i, color, {})
        count += fill
    return count

# 示例用法
n = 5
k = 2
m = 3
print(total_fill(n, k, m))

输出为：

24

这表示当有5个位置、2对相邻的不同颜色、3种颜色可选时，共有24种填充方式。