找到具有最大汉明距离的旋转

简介

在计算机科学中，哈姆林距离（Hamming distance）是两个等长字符串在对应位置的字符不同的数量。例如，两个字符串 "ABCD" 和 "ABED" 的汉明距离为 1，因为只有它们的第三个字符不同。

而找到具有最大汉明距离的旋转，就是在给定字符串的所有旋转中，找到一对距离最远的旋转。

思路

一个比较直观的想法是，枚举每一对旋转，然后计算它们之间的汉明距离，并记录最大值。但这种方法的时间复杂度为 $O(n^2)$，显然无法处理长度超过几千的字符串。

一个优化的思路是，利用字符串的旋转性质，将原字符串复制一份并拼接在最后，然后遍历所有长度为 $n$ 的子串，计算它们和下一个子串之间的汉明距离。这样可以将时间复杂度降到 $O(n)$。

但这种方法还不够高效。我们可以注意到汉明距离本质上是 XOR 运算，因此可以通过位运算来加速。具体来说，我们可以将字符串中的每个字符都转成二进制，然后按位异或。如果某位的异或结果为 1，则说明这两个字符不同。

代码实现

下面是一个使用 C++ 实现的示例：

#include <iostream>
#include <string>

using namespace std;

int max_hamming_distance(string s) {
    int n = s.size();
    s += s;  // 将字符串复制一份并拼接在后面

    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int cur = 0;
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            if (s[i+j] != s[i+n+j]) cur++; // 计算汉明距离
        }
        res = max(res, cur);
    }
    return res;
}

int main() {
    string s = "abcabcabc";
    cout << max_hamming_distance(s) << endl;  // 输出应该为 3
    return 0;
}

上述代码中，max_hamming_distance 函数计算最大汉明距离。它首先将字符串复制一份并拼接在最后，然后遍历所有长度为 $n$ 的子串，计算它和下一个子串之间的汉明距离，记录最大值并返回。

总结

找到具有最大汉明距离的旋转是一个比较常见的面试题。其本质是字符串的旋转和汉明距离计算，可以结合位运算进行优化。