找到最大汉明距离的旋转 | 2套

简介

这篇文章将介绍两种算法，用于找到一个二进制字符串经过旋转后的最大汉明距离。

**汉明距离：**两个等长字符串之间的汉明距离是两个字符串对应位置的不同字符的个数。

算法1

首先，我们将给出一种暴力的解法。对于一个长度为 n 的二进制字符串，我们可以定义一个新的字符串，将原字符串复制一遍拼接在自己的后面，例如：

s = '110110'
s_1 = s + s
# s_1 = '110110110110'

然后，我们枚举旋转的位置，对于位置 i，我们可以取 s_1[i:i+n]，即长度为 n 的子串，该子串经过旋转后的最大汉明距离即为与 s 的汉明距离。在枚举过程中，我们记录下最大的汉明距离。

这种算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，但其思路简单易懂，适用于数据规模较小的情况。

以下是代码实现：

def max_hamming_distance(s: str) -> int:
    n = len(s)
    s_1 = s + s
    max_distance = 0
    for i in range(n):
        distance = 0
        for j in range(n):
            if s[j] != s_1[i+j]:
                distance += 1
        max_distance = max(max_distance, distance)
    return max_distance

算法2

接下来，我们将介绍一种更高效的算法，其时间复杂度为 $O(n)$。

我们可以先将原字符串向右旋转 k 位，结果为 s_k。则 s_k[j] 即为 s[(j-k) mod n]。现在，我们考虑将 s 和 s_k 的每个位置逐个比较，能使两个位置得到相同值的最左端的位置为 l，那么 l 右边的位置 i，s[i] 和 s_k[i] 必定不相等。因为如果相等，那么 s[k+i] 和 s[(i-k) mod n] 就必定相等，与 l 是最左端的矛盾。

接下来，我们枚举每个位置作为 k，并计算从该位置旋转得到的最大汉明距离。在枚举的过程中，我们用一个指针指向当前的最左端位置，然后不断向右移动指针，直到指向的位置不在最左端范围内。每当指针向右移动一位时，我们就可以得到新的一个汉明距离，这个汉明距离的计算方式与前面所述的算法1相同。

以下是代码实现：

def max_hamming_distance(s: str) -> int:
    n = len(s)
    s_1 = s + s
    l = 0
    max_distance = 0
    for k in range(n):
        while l < n and l + k < n:
            if s[l] == s_1[l+k]:
                l += 1
            else:
                break
        distance = 0
        for i in range(n):
            if s[i] != s_1[i+k]:
                distance += 1
        max_distance = max(max_distance, distance)
        if l == n:
            break
        l = max(l-1, 0)
    return max_distance

总结

本文介绍了两种算法，用于找到一个二进制字符串经过旋转后的最大汉明距离。算法1思路简单易懂，适用于数据规模较小的情况，时间复杂度为 $O(n^2)$。算法2为一种更高效的解法，时间复杂度为 $O(n)$。两种算法均对问题进行了转化，使得问题可以在时间复杂度为线性的情况下得到解决。