减少数组后找到最后剩余的元素

在编程中，经常需要对数组进行操作。其中一个常见的问题是：删除数组中的元素，直到只剩下一个元素为止，那么这个元素是谁呢？这个问题被称为“约瑟夫问题”。

解决方法一：暴力枚举

首先，我们可以采用暴力枚举的方法解决这个问题。具体流程如下：

1. 初始化一个数组，保存当前数组中所有元素的状态；
2. 从数组的第一个元素开始，每隔 $m$ 个元素删除一个元素；
3. 直到只剩下一个元素为止。

下面是一个使用 Python 实现的示例代码：

def josephus(n: int, m: int) -> int:
    nums = [True] * n
    count = 0
    index = 0

    while count < n - 1:
        i = 0

        while i < m:
            if nums[index]:
                i += 1

            if i == m:
                nums[index] = False
                count += 1

            index += 1
            if index == n:
                index = 0

    for i in range(n):
        if nums[i]:
            return i + 1

这个方法的时间复杂度为 $O(nm)$，空间复杂度为 $O(n)$，可以通过本题。

解决方法二：推导公式

其实，上面的方法并不是最优解。通过数学方法可以推导出一个公式，直接计算出最后剩余的元素的下标。具体步骤如下：

1. 将元素下标从 $0$ 至 $n-1$ 编号；
2. 假设 $f(n,m)$ 表示编号为 $0,1,\cdots,n-1$ 的 $n$ 个元素中，每次删除第 $m$ 个元素后剩余的元素的下标；
3. 在第一轮删除后，编号为 $m-1$ 的元素被删除，剩余的元素为 $0,1,\cdots,m-2,m,\cdots,n-1$，将下标重新编号为 $0$ 至 $n-2$，此时问题转化为了一个规模为 $n-1$ 的子问题，即 $f(n-1,m)$；
4. 根据重新编号后元素的下标和之前的下标之间的关系，可以得到第二轮删除后剩余元素的下标为 $(f(n-1,m)+m)\bmod n$，这是因为第二轮从编号为 $m$ 的元素开始，剩余下标为 $0,1,\cdots,m-2,m,\cdots,n-2$。这里面的第一个元素在之前的编号中对应的下标为 $(f(n-1,m)+m)\bmod n$；
5. 根据相同的方法，依次进行下去，直到只剩下一个元素为止。

下面是一个使用 Python 实现的示例代码：

def josephus(n: int, m: int) -> int:
    result = 0
    for i in range(2, n + 1):
        result = (result + m) % i

    return result + 1

这个方法的时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(1)$，是一种更加优秀的解法。

总结

本文介绍了两种解决“减少数组后找到最后剩余的元素”问题的方法，分别是暴力枚举和推导公式。其中，推导公式的方法时间复杂度和空间复杂度都更加优秀。在实际应用中，我们应该优先采用更加高效的方法。