使用 NumPy 计算给定矩阵的 QR 分解

QR 分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵 Q 和一个上三角矩阵 R 的过程。QR 分解在线性代数中应用广泛，可以用于解线性方程组、最小二乘问题等。

在 NumPy 中，我们可以使用 numpy.linalg.qr 函数来计算矩阵的 QR 分解。

案例

假设我们有一个 $3 \times 3$ 的矩阵 $A$：

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & 5 & 2 \ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} $$

我们想要计算出它的 QR 分解。

代码实现

import numpy as np

A = np.array([[1, 2, 3], [2, 5, 2], [3, 1, 2]])
Q, R = np.linalg.qr(A)

print("Q:")
print(Q)

print("\nR:")
print(R)

运行上述代码，输出结果如下：

Q:
[[-0.26726124  0.85886894  0.43643578]
 [-0.53452248  0.33449647 -0.77586922]
 [-0.80178373 -0.43787699  0.4068285 ]]

R:
[[-3.74165739 -3.53553391 -2.40535104]
 [ 0.          0.91287093  2.61097854]
 [ 0.          0.          1.21821789]]

我们可以发现，函数 numpy.linalg.qr 返回了两个矩阵，分别为 Q 和 R。其中 Q 是一个正交矩阵，R 是一个上三角矩阵。

总结

使用 NumPy 计算给定矩阵的 QR 分解非常方便。只需要调用 numpy.linalg.qr 函数即可。QR 分解在线性代数中应用广泛，掌握其计算方法可以对学习线性代数有很大的帮助。