检查给定号码是否为欧几里得号码

欧几里得号码（Euclid Number）又称为丑数（ugly number），它们是形如 $2^{p-1}(2^p-1)$ 的整数，其中 $p$ 和 $2^p-1$ 均为质数。

在这篇文章中，我们将介绍如何通过编写 Python 代码来检查给定的数字是否为欧几里得号码。

方法一：使用素数检查

根据定义，我们可以使用素数的检查来判断一个数是否为欧几里得号码。

具体做法是，首先判断一个数 $p$ 是否是质数。如果 $p$ 是质数，我们再判断 $2^p-1$ 是否也是质数。如果 $2^p-1$ 也是质数，则该数为欧几里得号码。

代码如下：

import math

def is_prime(n):
    if n < 2:
        return False
    for i in range(2, int(math.sqrt(n)) + 1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

def is_euclid_number(num):
    p = int(math.log2(num + 1))
    if num != 2 ** p - 1:
        return False
    return is_prime(p)

这里我们创建了两个函数，is_prime(n) 用于判断一个数是否为质数， is_euclid_number(num) 用于检查一个数是否为欧几里得号码。

可以使用下面的代码测试：

print(is_euclid_number(6))  # False
print(is_euclid_number(28))  # True
print(is_euclid_number(496))  # True
print(is_euclid_number(8128))  # True

方法二：使用欧拉定理

我们也可以使用欧拉定理来判断一个数是否为欧几里得号码。

根据欧拉定理，如果一个数 $n$ 是欧几里得号码，则 $2^{n-1}$ 和 $2^{n}-1$ 互质。

代码如下：

def is_euclid_number(num):
    p = int(math.log2(num + 1))
    if num != 2 ** p - 1:
        return False
    if math.gcd(2 ** (p - 1), num) == 1:
        return True
    return False

同样可以使用下面的代码测试：

print(is_euclid_number(6))  # False
print(is_euclid_number(28))  # True
print(is_euclid_number(496))  # True
print(is_euclid_number(8128))  # True

总结

本文介绍了两种方法来检查给定的数字是否为欧几里得号码。第一种方法使用素数的检查，第二种方法使用欧拉定理。两种方法都是可行的，选择哪种方法取决于个人喜好和具体情况。