直角等腰三角形可以容纳的最大正方形数

直角等腰三角形可以容纳的最大正方形数是一个经典的算法问题，也是计算几何学、数学和计算机科学领域的常见考察点。

问题描述

给定一个直角等腰三角形，边长为n，问该三角形内最多可以容纳多少个边长为1的正方形。

举个例子，当n=4时，如下图所示，该三角形内最多可以容纳5个边长为1的正方形。

  x
  xx
  xxx
x xxx 

解法

这个问题的解法可以通过数学定理或者动态规划算法得到。

解法一：数学

根据数学定理，直角等腰三角形内最多可以容纳的边长为1的正方形数目为 $\frac{n\times(n+1)}{2}$。可以通过以下步骤证明：

首先，如果我们将直角等腰三角形分割成小三角形，每个小三角形内可以容纳一个边长为1的正方形。如下图所示：

1
x x
x x x
x x x x

可以看到，这个三角形可以分割成一个 $1 \times 1$ 的小三角形、一个 $2 \times 2$ 的小三角形、一个 $3 \times 3$ 的小三角形和一个 $4 \times 4$ 的小三角形。

对于一个 $k \times k$ 的小三角形，可以容纳 $k$ 个边长为1的正方形。因此，整个直角等腰三角形内最多可以容纳的边长为1的正方形数目为：

$$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$

这个算法的时间复杂度为 O(1)，非常高效，但是不适用于其他类型的三角形。

解法二：动态规划

另一种解法是动态规划算法。我们可以定义一个二维数组 dp，dp[i][j] 表示以点 (i,j) 为右下角的最大正方形的边长。

对于一个点 (i,j)，最大正方形的边长应该是其左边、上边和左上角三个点的最小值加1。因此，状态转移方程为：

$$dp[i][j] = \min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1$$

最终，直角等腰三角形内最多可以容纳的边长为1的正方形数目即为 dp 数组中的最大值。

这个算法的时间复杂度为 O(n^2)，需要一个二维数组来保存中间状态，但是适用于其他类型的三角形。

代码实现

以下是用 Python 实现的两种算法：

# 解法一
def maxSquares(n):
    return n * (n + 1) // 2

# 解法二
def maxSquares(n):
    dp = [[0] * (n+1) for _ in range(n+1)]
    maxSquare = 0
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, i+1):
            dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1
            maxSquare = max(maxSquare, dp[i][j])
    return maxSquare ** 2

以上代码都是很简单的实现，有兴趣的程序员可以自行尝试扩展到其他类型的三角形。