证明自然数是无界的
自然数，包括从 1 到无穷大的所有正整数，是数系的组成部分。不包括零或负数的自然数也称为计数数。它们只是正整数，而不是零、分数、小数或负数，它们是实数的组成部分。
数字在我们周围随处可见，用于计数物品、代表或交易金钱、测量温度、告诉时间等等。这些数字被称为自然数，因为它们用于计算项目。此外，除 0 以外的所有整数的集合称为自然数。这些数字在我们的日常行动和交流中发挥着重要作用。
什么是自然数？
自然数是可数的，是实数的组成部分。自然数集合中只包含正整数，例如 1、2、3、4、5、6 等。非负整数也称为自然数（所有正整数）。
23、56、78、999、100202 等是一些示例。
自然数集
元素的集合称为集合。在数学中，自然数集表示为 {1,2,3,…}。自然数集合用符号 N 表示。
N = {1,2,3,4,5,…∞}
最小自然数
1是最小的自然数。我们知道 N 中的最小元素是 1，对于 N 中的任何元素（比该元素多 1），我们可以用 1 和 N 来讨论下一个元素。二是一大于一，三是一大于二，以此类推。
自然数的性质
自然数的四种运算，加法、减法、乘法和除法，产生自然数的四个主要特征，如下图所示：
闭包性质：自然数总是两个自然数的和和乘积。在加法和乘法方面，自然数集合 N 是封闭的，但在减法和除法方面则不是。
关联性：即使修改了数字的顺序，任何三个自然数的和或乘积都保持不变。 N 的结合性质表示对于任何 a, b, c ∈ N，a+(b+c) = (a+b)+c 和 a×(b×c) = (a×b)×c。对于加法和乘法，自然数集 N 是结合的，但在减法和除法方面则不是。
交换性：即使数列改变，两个自然数之和或乘积保持不变。 N 的交换性质说，对于任意 a，b ∈ N，a+b = b+a 和 a×b = b×a。当涉及到加法和乘法时，自然数集合 N 是可交换的，但当它涉及减法和除法。
分配性质：自然数乘法总是对加法进行分配。例如，a × (b + c) = ab + ac。自然数乘法对减法也是分布的。例如，a × (b−c) = ab−ac。
证明自然数是无界的
证明：
The Supremum Property states that every nonempty set of real numbers bounded above contains a supremum, which is a real number. There is an infimum, which is a real number, in any nonempty set of real numbers that is bounded below. The supremum property can be used to prove other real-number characteristics.
Assume N is constrained above. Then, according to the supremum characteristic, the lowest upper bound “s” exists for every n ∈ N. Consider “k” to be the largest natural integer that is less than s. Then k + 1 > s, and s is not an upper bound of N because k + 1 is a natural integer. As a result of this contradiction, we may deduce that N has no upper bound.
类似问题
问题1：整数和自然数有什么区别？
解决方案：
Only positive integers are included in natural numbers, which range from 1 to infinity. Whole numbers, on the other hand, are a mix of zero and natural numbers that begin at 0 and terminate at an infinite value.
问题2：“0”是自然数吗？
解决方案：
‘No,’ is the response to this question. Natural numbers, as we already know, range from 1 to infinity and are positive integers. However, when we combine 0 with a positive integer such as 10, 20, or any other number, we get a natural number. In reality, 0 is a full number with no meaning.