二元最小堆的各种运算的复杂性分析

最小堆是完整的二叉树，其中子节点的值比父节点的值高(优先级低)，即，从根到叶节点的任何路径都具有元素的升序。如果是二叉树，则将根视为高度为0，将其子节点视为高度为1，依此类推。每个节点最多可以有两个孩子。

最小堆的重要属性：
1.父节点将始终具有比子节点更高的优先级和更低的值(在最小堆的情况下)。
2.堆是完整的二叉树。因此，为了填充第N^个级别，应该首先完全填充(N-1)^{个级别，并且第N个}级别中的节点填充应从左到右进行。

基于这些属性，Min Heap的各种操作如下：

1. 最小堆中插入操作的复杂性分析
   当应该将节点添加到堆中时，将在数组的下一个空索引处添加元素。然后检查插入的子节点是否与父节点一致。如果子级的值(比优先级高)比父级低，则完成节点的交换。交换过程一直进行到满足Min Heap的属性为止。
   

   If a node is to be inserted at a level of height H:

   Complexity of adding a node is: O(1)

   Complexity of swapping the nodes(upheapify): O(H)
   (swapping will be done H times in the worst case scenario)

   Total complexity: O(1) + O(H) = O(H)

   For a Complete Binary tree, its height H = O(log N), where N represents total no. of nodes.

   Therefore, Overall Complexity of insert operation is O(log N).

2. 最小堆中删除操作的复杂度分析

   节点的删除不能随机完成。优先级最高的元素(即父级)将首先被删除，然后按照优先级顺序删除下一个节点。这就是为什么堆被称为优先级队列的原因。
   首先，交换父节点和叶节点的位置，然后从队列中删除新形成的叶节点(最初是父节点)。接下来，开始交换过程，以便根据Min Heap的属性将新的父节点放置在正确的位置。

   If a node is to be deleted from a heap with height H:

   Complexity of swapping parent node and leaf node is: O(1)

   Complexity of swapping the nodes(downheapify): O(H)
   (swapping will be done H times in the worst case scenario)

   Total complexity: O(1) + O(H) = O(H)

   For a Complete Binary tree, its height H = O(log N), where N represents total no. of nodes.

   Therefore, Overall Complexity of delete operation is O(log N).

3. 从最小堆中获取最小值的复杂性

   为了获得最小值，只需返回根节点的值(这是Min Heap中的最小元素)，因此只需返回数组索引0处的元素即可。

   Hence, Complexity of getting minimum value is: O(1)