二元运算的性质

二进制操作的许多属性如下：

1.闭包属性：考虑一个非空集A以及对A的二元运算*。然后，如果a * b∈A，则在运算*下关闭，其中a和b是A的元素。

例1：整数集上的加法运算是封闭运算。

例2：考虑集合A = {-1，0，1}。确定下是否关闭A

• 加成
• 乘法

解：

(i)元素的总和为(-1)+(-1)= -2，并且1 + 1 = 2不属于A。因此，在加法下A不闭合。

(ii)集合中每两个元素的相乘是

由于每个乘法都属于A，因此A在乘法下是闭合的。

2.关联属性：考虑一个非空集A和对A的二元运算*。那么对A的运算*是关联的，如果对于每个a，b，c，∈A，我们都有(a * b)* c = a *(b * c)。

示例：考虑对Q的二元运算*，由a * b = a + b-ab∀a，b∈Q定义的有理数集。

确定*是否关联。

解：让我们假设一些元素a，b，c∈Q，然后定义

同样，我们有
a *="" *(b="" +="" -bc="" abc<="" b="" c)="a" c-ab-ac="" p="">

因此，(a * b)* c = a *(b * c)

因此，*是关联的。

3.可交换性：考虑一个非空集A，以及对A的二元运算*。那么对A的运算*是相联的，如果对于每个a，b，∈A，我们都有一个* b = b * a。

示例：考虑对Q的二元运算*，由a * b = a ² + b ^{2 2} a，b∈Q定义的有理数集合。

确定*是否可交换。

解：让我们假设一些元素a，b，∈Q，然后定义

因此，*是可交换的。

4.身份：考虑一个非空集A，以及对A的二元运算*。然后，如果A中存在元素e，则运算*具有标识属性，使得a * e(正确的身份)= e * a(左恒等式)= a∀a∈A.

示例：_{考虑对I +}的二进制运算*，由a * b =定义的一组正整数

确定二进制操作*的标识(如果存在)。

解决方案：让我们假设e为+ ve整数，则

e * a，a∈I ₊
= a，e = 2 ……方程(i)

同样，a * e = a，a∈I ₊
= 2或e = 2 ………..方程(ii)

从方程(i)和(ii)中e = 2，我们得到e * a = a * e = a

因此，2是*的标识元素。

5.逆：考虑一个非空集A，并对A进行二元运算*。然后该运算是逆性质，如果对于每个a∈A，在A中存在一个元素b，使得a * b(右逆)= b * a(左逆)= e，其中b称为a的逆。

6.等幂：考虑一个非空集A，并且对A进行二元运算*，则该运算*具有等幂性质，如果对于每个a∈A，我们都有一个* a = a∀a∈A

7.分布性：考虑一个非空集A，以及对A的二元运算*。然后，该运算*分布在+上，如果对于每个a，b，c∈A，我们有
a *(b + c)=(a * b)+(a * c)[左分布]
(b + c)* a =(b * a)+(c * a)[正确分配]

8.取消：考虑一个非空集A，以及对A的二元运算*。那么该运算*具有取消性质，如果对于每个a，b，c∈A，我们有
a * b = a * c⇒b = c [左取消]
b * a = c * a⇒b = c [取消权利]