德国数学家G. Cantor引入了集合的概念。他将集合定义为通过某些规则或描述选择的确定且可区分的对象的集合。

集合论形成像计数理论，关系，图论和有限状态机的研究等几个领域的基础。在本章中，我们将介绍集合论的不同方面。

集-定义

集合是不同元素的无序集合。一个集合可以通过使用集合括号列出其元素来明确地编写。如果元素的顺序更改或重复集合中的任何元素，则不会对集合进行任何更改。

集的一些例子

• 一组所有正整数
• 太阳系中所有行星的集合
• 一组印度所有州
• 一组所有小写字母的字母表

集的表示

集可以两种方式表示-

• 名册或表格形式
• 设置构建器符号

名册或表格形式

通过列出组成该集合的所有元素来表示该集合。元素用大括号括起来，并用逗号分隔。

示例1-英文字母的元音集$ A = \ lbrace a，e，i，o，u \ rbrace $

示例2-小于10的奇数集$ B = \ lbrace 1,3,5,7,9 \ rbrace $

设置构建器符号

该集合是通过指定集合元素共同具有的属性来定义的。该集合描述为$ A = \ lbrace x：p(x)\ rbrace $

示例1-集合$ \ lbrace a，e，i，o，u \ rbrace $写为-

$ A = \ lbrace x：\ text {x是英语字母的元音} \ rbrace $

示例2-集合$ \ lbrace 1,3,5,7,9 \ rbrace $写为-

$ B = \ lbrace x：1 \ le x \ lt 10 \ and \(x \％2)\ ne 0 \ rbrace $

如果元素x是任何集合S的成员，则用$ x \ in S $表示，如果元素y不是集合S的成员，则用$ y \ notin S $表示。

示例–如果$ S = \ lbrace1，1.2，1.7，2 \ rbrace，1 \ in S $但$ 1.5 \ notin S $

一些重要的集合

N-所有自然数的集合= $ \ lbrace1、2、3、4 ….. \ rbrace $

Z-所有整数的集合= $ \ lbrace …..，-3，-2，-1，0，1，2，3，….. \ rbrace $

Z ^＆plus; −所有正整数的集合

Q-所有有理数的集合

R-所有实数的集合

W-所有整数的集合

集合的基数

集合S的基数，用$ | S | $表示，是集合中元素的数量。该号码也称为基数。如果集合具有无限个元素，则其基数为$ \ infty $。

示例-$ | \ lbrace 1，4，3，5 \ rbrace | = 4，| \ lbrace 1、2、3、4、5，\ dots \ rbrace | = \ infty $

如果有两个X和Y，

• $ | X | = | Y | $表示具有相同基数的两组X和Y。当X中的元素数量与Y中的元素数量完全相等时，会发生这种情况。在这种情况下，存在从X到Y的双射函数’f’。

• $ | X | \ le | Y | $表示集合X的基数小于或等于集合Y的基数。当X中的元素数小于或等于Y时，会发生这种情况。这里，存在从X到Y的内射函数’f’。

• $ | X | \ lt | Y | $表示集合X的基数小于集合Y的基数。当X中的元素数量少于Y时，就会发生这种情况。这里，从X到Y的函数’f’是内射函数，而不是双射函数。

• $ If \ | X | \ le | Y | $和$ | X | \ ge | Y | $，然后$ | X | = | Y | $。 X和Y集通常称为等效集。

集的类型

集可以分为多种类型。其中一些是有限，无限，子集，通用，固有，单例集等。

有限集

包含一定数量元素的集合称为有限集合。

示例-$ S = \ lbrace x \：| \：x \ in N $和$ 70 \ gt x \ gt 50 \ rbrace $

无限集

包含无限数量元素的集合称为无限集合。

示例-$ S = \ lbrace x \：| \：x \ in N $和$ x \ gt 10 \ rbrace $

子集

如果X的每个元素都是集合Y的元素，则集合X是集合Y的子集(写为$ X \ subseteq Y $)。

示例1-设$ X = \ lbrace 1，2，3，4，5，6 \ rbrace $和$ Y = \ lbrace 1，2 \ rbrace $。这里的集合Y是集合X的子集，因为集合Y的所有元素都在集合X中。因此，我们可以写$ Y \ subseteq X $。

示例2-设$ X = \ lbrace 1，2，3 \ rbrace $和$ Y = \ lbrace 1，2，3 \ rbrace $。由于集合Y的所有元素都在集合X中，因此集合Y是集合X的子集(不是适当的子集)。因此，我们可以写$ Y \ subseteq X $。

适当的子集

术语“适当的子集”可以被定义为“但不等于”的子集。如果X的每个元素都是集合Y的元素并且$ | X |，则集合X是集合Y的适当子集(写为$ X \ subset Y $)。 \ lt | Y | $。

示例-设$ X = \ lbrace 1，2，3，4，5，6 \ rbrace $和$ Y = \ lbrace 1，2 \ rbrace $。这里设置$ Y \ subset X $，因为$ Y $中的所有元素也都包含在$ X $中，并且$ X $至少有一个元素大于集合$ Y $。

通用套装

它是特定上下文或应用程序中所有元素的集合。该上下文或应用程序中的所有集合本质上都是该通用集合的子集。通用集表示为$ U $。

示例-我们可以将$ U $定义为地球上所有动物的集合。在这种情况下，所有哺乳动物的集合是$ U $的子集，所有鱼类的集合是$ U $的子集，所有昆虫的集合是$ U $的子集，依此类推。

空集或空集

空集不包含任何元素。用$ \ emptyset $表示。由于空集中的元素数是有限的，因此空集是有限集。空集或空集的基数为零。

示例-$ S = \ lbrace x \：| \：x \ in N $和$ 7 \ lt x \ lt 8 \ rbrace = \ emptyset $

单件套或单位套

单例集或单元集仅包含一个元素。单例集由$ \ lbrace s \ rbrace $表示。

示例-$ S = \ lbrace x \：| \：x \ in N，\ 7 \ lt x \ lt 9 \ rbrace $ = $ \ lbrace 8 \ rbrace $

均等集

如果两组包含相同的元素，则称它们相等。

示例-如果$ A = \ lbrace 1，2，6 \ rbrace $和$ B = \ lbrace 6，1，2 \ rbrace $，它们相等，因为集合A的每个元素都是集合B的元素，而集合A的每个元素集B是集A的元素。

等价集

如果两组的基数相同，则称为等效集。

示例-如果$ A = \ lbrace 1，2，6 \ rbrace $和$ B = \ lbrace 16，17，22 \ rbrace $，它们等效，因为A的基数等于B的基数。即$ | A | = | B | = 3 $

重叠集

具有至少一个公共元素的两个集合称为重叠集合。

在重叠的情况下-

• $ n(A \ cup B)= n(A)+ n(B)-n(A \ cap B)$

• $ n(A \ cup B)= n(A-B)+ n(B-A)+ n(A \ cap B)$

• $ n(A)= n(A-B)+ n(A \ cap B)$

• $ n(B)= n(B-A)+ n(A \ cap B)$

示例-设$ A = \ lbrace 1，2，6 \ rbrace $和$ B = \ lbrace 6，12，42 \ rbrace $。有一个公共元素“ 6”，因此这些集合是重叠的集合。

不相交集

如果两个集合A和B没有相同的元素，则称为不交集。因此，不相交集具有以下属性-

• $ n(A \ cap B)= \ emptyset $

• $ n(A \ cup B)= n(A)+ n(B)$

示例-假设$ A = \ lbrace 1，2，6 \ rbrace $和$ B = \ lbrace 7，9，14 \ rbrace $，没有一个公共元素，因此这些集合是重叠集合。

维恩图

维恩图由John Venn于1880年发明，是一种示意图，显示了不同数学集之间的所有可能逻辑关系。

例子

设定作业

集合运算包括集合并集，集合相交，集合差，集合补数和笛卡尔乘积。

设置联盟

集A和B的并集(用$ A \ cup B $表示)是在A，B或在A和B中的元素集合。因此，$ A \ cup B = \ lbrace x \： | \：x \在A \ OR \ x \在B \ rbrace $。

示例-如果$ A = \ lbrace 10、11、12、13 \ rbrace $和B = $ \ lbrace 13、14、15 \ rbrace $，则$ A \ cup B = \ lbrace 10、11、12、13 14、15 \ rbrace $。 (公共元素仅出现一次)

设置相交

集A和B的交集(用$ A \ cap B $表示)是在A和B中的元素集。因此，$ A \ cap B = \ lbrace x \：| \：x \ in A \ AND \ x \在B \ rbrace $中。

示例-如果$ A = \ lbrace 11，12，13 \ rbrace $和$ B = \ lbrace 13，14，15 \ rbrace $，则$ A \ cap B = \ lbrace 13 \ rbrace $。

设定差异/相对补数

集A和集B的集差(用$ A – B $表示)是仅在A中但不在B中的元素集。因此，$ A-B = \ lbrace x \：| \：x \ in A \ AND \ x \ notin B \ rbrace $。

示例-如果$ A = \ lbrace 10、11、12、13 \ rbrace $和$ B = \ lbrace 13、14、15 \ rbrace $，则$(A-B)= \ lbrace 10、11、12 \ rbrace $和$(B-A)= \ lbrace 14，15 \ rbrace $。在这里，我们可以看到$(A-B)\ ne(B-A)$

补集

集A的补数(用$ A’$表示)是不在集A中的元素集。因此，$ A’= \ lbrace x | x \ notin A \ rbrace $。

更具体地说，$ A’=(U-A)$，其中$ U $是包含所有对象的通用集。

示例-如果$ A = \ lbrace x \：| \：x \ \：{属于\：to \：set \：of \：奇数\：integers} \ rbrace $然后$ A’= \ lbrace y \：| \：y \ \：{确实\：不\：属于\：to \：set \：of \：奇数\：整数} \ rbrace $

笛卡尔积/叉积

n个集合$ A_1，A_2，\ dots A_n $表示为$ A_1 \ times A_2 \ dots \ times A_n $的笛卡尔积可以定义为所有可能的有序对$(x_1，x_2，\ dots x_n)$其中$ x_1 \ in A_1，x_2 \ in A_2，\点x_n \ in A_n $

示例-如果我们采用两组$ A = \ lbrace a，b \ rbrace $和$ B = \ lbrace 1，2 \ rbrace $，

A和B的笛卡尔积表示为-$ A \ times B = \ lbrace(a，1)，(a，2)，(b，1)，(b，2)\ rbrace $

B和A的笛卡尔积表示为-$ B \ times A = \ lbrace(1，a)，(1，b)，(2，a)，(2，b)\ rbrace $

功率设定

集合S的幂集是S的所有子集的集合，包括空集。基数为n的集合S的幂集的基数为$ 2 ^ n $。功率集表示为$ P(S)$。

示例-

对于集合$ S = \ lbrace a，b，c，d \ rbrace $，让我们计算子集-

• 具有0个元素的子集-$ \ lbrace \ emptyset \ rbrace $(空集)

• 具有1个元素的子集-$ \ lbrace a \ rbrace，\ lbrace b \ rbrace，\ lbrace c \ rbrace，\ lbrace d \ rbrace $

• 具有2个元素的子集-$ \ lbrace a，b \ rbrace，\ lbrace a，c \ rbrace，\ lbrace a，d \ rbrace，\ lbrace b，c \ rbrace，\ lbrace b，d \ rbrace，\ lbrace c， d \ rbrace $

• 具有3个元素的子集-$ \ lbrace a，b，c \ rbrace，\ lbrace a，b，d \ rbrace，\ lbrace a，c，d \ rbrace，\ lbrace b，c，d \ rbrace $

• 具有4个元素的子集-$ \ lbrace a，b，c，d \ rbrace $

因此，$ P(S)= $

$ \ lbrace \ quad \ lbrace \ emptyset \ rbrace，\ lbrace a \ rbrace，\ lbrace b \ rbrace，\ lbrace c \ rbrace，\ lbrace d \ rbrace，\ lbrace a，b \ rbrace，\ lbrace a，c \ rbrace，\ lbrace a，d \ rbrace，\ lbrace b，c \ rbrace，\ lbrace b，d \ rbrace，\ lbrace c，d \ rbrace，\ lbrace a，b，c \ rbrace，\ lbrace a，b， d \ rbrace，\ lbrace a，c，d \ rbrace，\ lbrace b，c，d \ rbrace，\ lbrace a，b，c，d \ rbrace \ quad \ rbrace $

$ | P(S)| = 2 ^ 4 = 16 $

注-空集的幂集也是空集。

$ | P(\ lbrace \ emptyset \ rbrace)| = 2 ^ 0 = 1 $

集的分区

集合的分区S表示满足以下三个条件的n个不相交的子集的集合：$ P_1，P_2，\ dots P_n $-

• $ P_i $不包含空集。

  $ \ lbrack P_i \ ne \ lbrace \ emptyset \ rbrace \ for \ all \ 0 \ lt i \ le n \ rbrack $

• 子集的并集必须等于整个原始集合。

  $ \ lbrack P_1 \ cup P_2 \ cup \ dots \ cup P_n = S \ rbrack $

• 任何两个不同集合的交集为空。

  $ \ lbrack P_a \ cap P_b = \ lbrace \ emptyset \ rbrace，\ for \ a \ ne b \其中\ n \ ge a，\：b \ ge 0 \ rbrack $

例

设$ S = \ lbrace a，b，c，d，e，f，g，h \ rbrace $

一个可能的分区是$ \ lbrace a \ rbrace，\ lbrace b，c，d \ rbrace，\ lbrace e，f，g，h \ rbrace $

另一个可能的分区是$ \ lbrace a，b \ rbrace，\ lbrace c，d \ rbrace，\ lbrace e，f，g，h \ rbrace $

响铃号码

响铃次数给出了对集合进行分区的方式的数量的计数。它们用$ B_n $表示，其中n是集合的基数。

示例–

假设$ S = \ lbrace 1，2，3 \ rbrace $，$ n = | S | = 3 $

备用分区是-

1. $ \ emptyset，\ lbrace 1、2、3 \ rbrace $

2. $ \ lbrace 1 \ rbrace，\ lbrace 2，3 \ rbrace $

3. $ \ lbrace 1，2 \ rbrace，\ lbrace 3 \ rbrace $

4. $ \ lbrace 1，3 \ rbrace，\ lbrace 2 \ rbrace $

5. $ \ lbrace 1 \ rbrace，\ lbrace 2 \ rbrace，\ lbrace 3 \ rbrace $

因此$ B_3 = 5 $