各种算术运算的基本定律

在编程中，我们常常需要进行各种算术运算，如加、减、乘、除等等。正确地理解和应用这些运算的基本定律，对于写出高效、正确的程序至关重要。本文将介绍各种算术运算的基本定律，帮助程序员更好地掌握这些基本操作。

加法运算

结合律

对于任意三个实数 $a, b, c$，加法满足结合律，即 $(a+b)+c=a+(b+c)$。

证明：

$(a+b)+c=a+b+c$

$a+(b+c)=a+b+c$

显然，$(a+b)+c=a+(b+c)$，结合律成立。

交换律

对于任意两个实数 $a, b$，加法满足交换律，即 $a+b=b+a$。

证明：

$a+b=b+a$

显然，等式两边相等，交换律成立。

对于整数、浮点数和有理数，加法满足分配律

对于任意三个实数 $a, b, c$，加法满足分配律，即 $a(b+c)=ab+ac$ 和 $(b+c)a=ba+ca$。

证明：

$a(b+c)=ab+ac$

$ab+ac=a(b+c)$

显然，两边相等，分配律成立。

零元

对于任意实数 $a$，存在一个实数 $0$，使得 $a+0=a$。

证明：

$a+0=a$

显然，等式两边相等，零元成立。

减法运算

减法运算可以转化为加法运算，即 $a-b=a+(-b)$。

乘法运算

结合律

对于任意三个实数 $a, b, c$，乘法满足结合律，即 $(ab)c=a(bc)$。

证明：

$(ab)c=abc$

$a(bc)=abc$

显然，$(ab)c=a(bc)$，结合律成立。

交换律

对于任意两个实数 $a, b$，乘法满足交换律，即 $ab=ba$。

证明：

$ab=ba$

显然，等式两边相等，交换律成立。

对于整数、浮点数和有理数，乘法满足分配律

对于任意三个实数 $a, b, c$，乘法满足分配律，即 $a(b+c)=ab+ac$ 和 $(b+c)a=ba+ca$。

证明：

$a(b+c)=ab+ac$

$ab+ac=a(b+c)$

显然，两边相等，分配律成立。

单位元

对于任意实数 $a$，存在一个实数 $1$，使得 $a\times1=a$。

证明：

$a\times1=a$

显然，等式两边相等，单位元成立。

零因子

如果 $a\neq0$ 且 $b\neq0$，但 $ab=0$，则称 $a$ 和 $b$ 是乘法运算的零因子。

逆元

对于任意非零实数 $a$，存在一个实数 $a^{-1}$，使得 $a\times a^{-1}=1$。

除法运算

除法运算可以转化为乘法运算，即 $\frac{a}{b}=a\times b^{-1}$。

取模运算

对于任意整数 $a$ 和正整数 $n$，记 $a\bmod n$ 为 $a$ 对 $n$ 取模运算的余数，即 $a=qn+r$，$0\leq r<n$。

取模运算有以下的基本性质：

结合律

对于任意三个整数 $a, b, c$，取模运算满足结合律，即 $(a\bmod n)\bmod n=a\bmod n$ 和 $(a+b)\bmod n=((a\bmod n)+(b\bmod n))\bmod n$。

分配律

对于任意三个整数 $a, b, c$，取模运算满足分配律，即 $(a+b)\bmod n=((a\bmod n)+(b\bmod n))\bmod n$ 和 $(a\times b)\bmod n=((a\bmod n)\times(b\bmod n))\bmod n$。

零元和单位元

对于任意整数 $a$，存在一个整数 $0$，使得 $a+0=a$；存在一个整数 $1$，使得 $a\times1=a$。

唯一性

整数 $a$ 对 $n$ 取模的余数是唯一的，即如果 $a=q_1n+r_1$ 且 $a=q_2n+r_2$，则 $q_1=q_2$ 且 $r_1=r_2$。

以上是各种算术运算的基本定律。掌握这些基本定律，能够更好地写出高效、正确的程序，也为深入理解更高级的算法和数据结构打下了坚实的基础。