欧几里得算法的时间复杂度

在本文中，我们将讨论欧氏算法的时间复杂度O(log(min(a(b，b)))并可以实现。

Euclid算法：这是一种找到两个整数的GCD(最大公约数)的有效方法。该算法的时间复杂度为O(log(min(a，b)) 。递归地可以表示为：

gcd(a, b) = gcd(b, a%b),
where, a and b are two integers.

证明：假设a和b是两个整数，则根据Euclid算法，a> b：

gcd(a, b) = gcd(b, a%b)

重复使用上述公式，直到到达b为0的步骤为止。在这一步，结果将是两个整数的GCD，它们等于a 。因此，在仔细观察之后，可以说该算法的时间复杂度与将b减小为0所需的步骤数成正比。

假设使用此算法将b减小为0所需的步骤数为N。

gcd(a, b) ------> N steps

现在，如果两个数字a和b的欧几里得算法以N步递减，则a至少应为f _{(N + 2)} ， b至少应为f _{(N +1)} 。

gcd(a, b) ——> M steps
Then, a >= f_{(N + 2)} and b >= f_{(N + 1)}
where, f_N is the N^th term in the Fibonacci series(0, 1, 1, 2, 3, …) and N >= 0.

为了使用数学归纳法则(PMI)来证明上述说法：

• 基本情况：
  • 假设a = 2和b = 1 。然后，GCD(2，1)将减少GCD(1,0)在步骤1，即，N = 1。
  • 这意味着2应该至少为f _3，而1应该至少为f _2，并且f ₃ = 2和f ₂ = 1 。
  • 这意味着， a至少为f _{(N + 2)} ， b至少为f _{(N +1)} 。
  • 可以得出结论，该陈述适用于基本案例。
• 感应步骤：假设语句保持为(N – 1)真^个步骤。所以，下面是证明它^第N^个步骤的步骤：

gcd(b, a%b) ——> (N – 1) steps
Then,  
b >= f_{(N – 1 + 2)} i.e., b >= f_{(N + 1)}
a%b >= f_{(N – 1 + 1)} i.e., a%b >= f_N

• 它也可以写成：

a = floor(a/b)*b + a%b

• 现在，(a / b)始终大于1。因此，从以上结果可以得出结论：

a >= b + (a%b)
This implies, a >= f_{(N + 1)} + f_N

• 众所周知，每个数字都是斐波那契数列中前面两个项的和。这意味着f _{(N + 2)} = f _{(N +1)} + f _N。

a >= f_{(N + 2)} and b >= f_{(N + 1)}

• 由于以上陈述对于归纳步骤也适用。这证明该陈述是正确的。
• 在继续之前，请看一下Binet公式：

Binet公式：

f_N = {((1 + √5)/2)^N – ((1 – √5)/2)^N}/√5
          or
f_N = ∅^N

• 其中， ∅被称为黄金分割率(∅≈1.618) ，f _N是第N^个斐波纳契数。
• 现在，已经说明时间复杂度将与N成正比，即将b减小为0所需的步骤数。
• 因此，为了证明时间复杂度，已知：

f_N = ∅^N
N ≈ log_∅(f_N)

现在，从以上陈述可以证明，使用数学归纳原理，可以说，如果两个数a和b的欧几里得算法以N步减少，则a至少应为f _{(N + 2)}并且b至少应为f _{(N +1)} 。

从以上两个结果可以得出结论：

=> f_N ≈ min(a, b)
=> N ≈ log_∅min(a, b)