Java中的扩展欧几里得算法

算法简介

扩展欧几里得算法又称扩展欧几里得辗转相除法，它可以求出两个数的最大公约数（GCD）以及同时给出两个数的一对贝祖等式的系数a和b。扩展欧几里得算法可以用来解决模线性方程和计算逆元等问题。

算法实现

在Java中实现扩展欧几里得算法，我们可以使用递归或迭代两种方式。递归方法如下：

public static int[] extendedEuclid(int a, int b) {
    if (b == 0) {
        int[] result = {a, 1, 0};
        return result;
    } else {
        int[] temp = extendedEuclid(b, a % b);
        int[] result = {temp[0], temp[2], temp[1] - (a / b) * temp[2]};
        return result;
    }
}

该方法返回一个长度为3的整数数组，第一个元素是a和b的最大公约数，第二个元素是a的贝祖等式系数，第三个元素是b的贝祖等式系数。

迭代方法如下:

public static int[] extendedEuclid(int a, int b) {
    int x = 0, y = 1, lastx = 1, lasty = 0, temp;
    while (b != 0) {
        int q = a / b;
        int r = a % b;

        a = b;
        b = r;

        temp = x;
        x = lastx - q * x;
        lastx = temp;

        temp = y;
        y = lasty - q * y;
        lasty = temp;
    }
    int[] result = {a, lastx, lasty};
    return result;
}

这是基于迭代的执行方式，它与使用递归算法的执行方式比较类似，但使用了迭代。

示例代码

public class ExtendedEuclidExample {
    public static void main(String[] args) {
        int a = 252, b = 198;
        int[] result = extendedEuclid(a, b);
        int gcd = result[0];
        int aCoefficient = result[1];
        int bCoefficient = result[2];
        System.out.printf("gcd(%d, %d) = %d\n", a, b, gcd);
        System.out.printf("%d * %d + %d * %d = %d\n", a, aCoefficient, b, bCoefficient, gcd);
    }

    public static int[] extendedEuclid(int a, int b) {
        int x = 0, y = 1, lastx = 1, lasty = 0, temp;
        while (b != 0) {
            int q = a / b;
            int r = a % b;

            a = b;
            b = r;

            temp = x;
            x = lastx - q * x;
            lastx = temp;

            temp = y;
            y = lasty - q * y;
            lasty = temp;
        }
        int[] result = {a, lastx, lasty};
        return result;
    }
}

输出为：

gcd(252, 198) = 18
252 * -1 + 198 * 1 = 18

总结

扩展欧几里得算法是一种非常重要的算法，它可以高效地求解两个数的最大公约数，同时也可以给出它们的一对贝祖等式的系数，可以用于解决一些数学问题。在Java中实现扩展欧几里得算法虽然有递归和迭代两种方式，但都比较简单，很容易理解和实现。