欧几里得算法的时间复杂度

欧几里得算法（又称辗转相除法）是一种用于计算两个数的最大公约数的算法。它基于以下原理：对于两个整数 a 和 b，如果它们的最大公约数为 c，那么 a 和 b 可以分别表示为 c 的整数倍，即 a = mc，b = nc。于是，a 和 b 的任意公约数都是 c 的倍数，因此 c 是 a 和 b 的最大公约数。

下面是欧几里得算法的 Python 实现：

def gcd(a, b):
    while b:
        a, b = b, a % b
    return a

这个实现使用了 Python 的语法糖，即同时更新两个变量的值。它在每次循环中计算 a % b，直到 b 变成 0 为止。最后，它返回 a，这也是 a 和 b 的最大公约数。

这个算法的时间复杂度是 O(log min(a, b))，其中 log 表示以 2 为底的对数。这是因为每次循环都会将 b 减少一半或更多，直到变成 0。因此，这个算法的时间复杂度与输入的数的大小无关，只与它们的二进制位数有关。

欧几里得算法是计算最大公约数的最常用的方法之一，因为它简单、快速并且可靠。它也可以用于计算最小公倍数，即将 a 和 b 相乘，再除以它们的最大公约数。