布鲁克定理

布鲁克定理是最著名的图形着色定理之一。图着色是图论中图标记的一个子集。它涉及根据特定约束将标签分配给图形元素，通常称为“颜色”。在其最基本的形式中，顶点着色是一种对图的顶点进行着色的方法，以便没有两个相邻的顶点颜色相同。现在，让我们看看布鲁克定理如何帮助图形着色。

布鲁克定理的陈述

在图论中，布鲁克定理说明了图的最大度数与其色数之间的关系。布鲁克定理指出：

If G is a connected simple graph and is neither an odd cycle nor a complete graph i.e. χ(G)≥3 then 

χ(G) ≤ k, where k denotes the maximum degree of G and χ(G) denotes the chromatic number of G.

• 奇数循环是指具有奇数长度的循环，即具有奇数个边。
• 完全图是一个顶点应该与所有其他顶点有边的图。
• 图的色数是为顶点着色所需的最小颜色数，以使没有两个相邻顶点具有相同的颜色。
• 图 G 中一个顶点的最大邻居数是它的最大度数。

布鲁克斯定理扩展了贪心算法的这个断言，它表明χ(G) ≤ k +1 ，对于任何图 G。例如，

图 1：满足布鲁克定理的图

如图所示。 1，图的色数即χ(G)为3，最大度数即k为3。所以χ(G)=k，满足布鲁克定理。

布鲁克定理的证明

假设k = (G) 。如果k = 2 ，则 G 是循环或路径。我们可以假设k≥3 。我们将设计一个排序，其中每个顶点在其前面最多有k-1个顶点。

• 我们首先假设有一个值为d(v)的顶点V。找到 G 的 T 生成树并将其根植于v 。将v as 和其他顶点在 T 中排序，使得距离i处的所有顶点都在距离v处i+1处的所有顶点之前。在这种安排下，每个顶点在其前面最多有k-1个顶点。
• 假设 G 有一个割顶点 v 并且是 k-正则的。考虑分量 G ₁ ,…, G _l ，其中 G' 的2≤l等于G – v 。 G – i 的每个顶点 vi 都有值VV _i ∈ E(G)，因此dG _i ( _vi ) = k – 1。我们可以使用前面的方法适当地对每个 G _i进行 k 着色。实际上，如果有必要，我们可以通过交换颜色对 G _i进行着色，使_vi的颜色为 1。
• 假设 G 是 2-连通和 k-正则的。
• 假设有一个顶点 v 有两个邻居V ₁ , V ₂并且V ₁ , V ₂ ∉ E和G - {V ₁ , V ₂ }是连通的。找到G − {V ₁ , V ₂ }的生成树，其根在 v 中，并按照与之前相同的方式对其进行排序。 V ₁ , V ₂应在订购的开头添加。然后贪婪着色将给V ₁和 V ₂相同的颜色。每个顶点w ≠ v在其前面最多有k-1个邻居。顶点 v 有 k 但V ₁ , V ₂ 具有相同的颜色，因此我们可以给v 一个颜色。
• 我们现在将证明这样的三元组 v, v ₁ , v ₂始终存在。选择任意顶点 x。如果κ(G - x) ≥ 2为真，则v ₁ = x且 v ₂是距离为 x 两倍的顶点。必须有这样一个顶点，因为如果从 x 到G−x的每个顶点都有一条边，那么 G 是完整的，因为 G 是 k-正则的。最后，v ₁和 v ₂在 v 中有一个共同的邻居。此外， G - {v ₁ , v ₂ } = G - {x, v ₂ }是相关的。
• 设κ(G - x) = 1是G - x 的割点， w 是G-x的割点。
• 令 H 表示G−x的一个块，它是块图中的一个叶子，a 表示G−x的切割顶点，它写在 H 中。那么 x 在 H 中的邻居与 a 不同，因为否则， Ga是不连通的.
• 令v = x是来自Gx的两个不同叶块的 x 的邻居，并且 v ₁和 v ₂是来自G-x的两个不同叶块的 x 的邻居。 v ₁和 v ₂之间显然没有联系，并且G - {v ₁ , v ₂ }连接为d(x) ≥ 3 。

示例问题

问题 1：证明给定图的 Brook 定理。

解决方案：

The above graph,

The chromatic number of the graph, i.e. χ(G) = 3. 

The maximum degree of the graph i.e. k = 3.

Therefore, χ(G) = k. Thus, the above graph proves Brook’s Theorem.

问题 2：证明给定图的布鲁克定理。

解决方案：

The above graph,

The chromatic number of the graph, i.e. χ(G) = 3.

The maximum degree of the graph i.e. k = 3.

Therefore, χ(G) = k. Thus, the above graph proves Brook’s Theorem.

问题 3：证明给定图的布鲁克定理。

解决方案：

The above graph,

The chromatic number of the graph, i.e. χ(G) = 5.

The maximum degree of the graph i.e. k = 5.

Therefore, χ(G) = k. Thus, the above graph proves Brook’s Theorem.

问题 4：证明给定图的布鲁克定理。

解决方案：

The above graph,

The chromatic number of the graph, i.e. χ(G) = 3.

The maximum degree of the graph i.e. k = 3.

Therefore, χ(G) = k. Thus, the above graph proves Brook’s Theorem.

问题 5：证明给定图的布鲁克定理。

解决方案：

The above graph,

The chromatic number of the graph, i.e. χ(G) = 3.

The maximum degree of the graph i.e. k = 3.

Therefore, χ(G) = k. Thus, the above graph proves Brook’s Theorem.

问题 6：证明给定图的布鲁克定理。

解决方案：

The above graph,

The chromatic number of the graph, i.e. χ(G) = 4.

The maximum degree of the graph i.e. k = 4.

Therefore, χ(G) = k. Thus, the above graph proves Brook’s Theorem.