由数字和为 N 的非重复数字组成的最小正数

在本篇文章中，我们将介绍由数字和为 N 的非重复数字组成的最小正数的问题。这个问题可以使用递归和回溯算法来解决，让我们一步步地学习。

问题描述

给定一个正整数 N ，编写一个函数来求由数字和为 N 的非重复数字组成的最小正数。例如，当 N = 5 时，最小正数为 5 本身，因为数字和为 5 只有一个数字。

当 N = 10 时，最小正数为 19，因为数字和为 10 可以由数字1和9组成，而数字1和数字9不重复。

解法

首先，我们需要明确的是，对于数字和为 N 的非重复数字组成的最小正数，它的位数最多是 N 位，且每一位的数字都小于等于N。这意味着我们可以使用回溯算法来递归地生成所有可能的数字组合，最终从中找到符合要求的最小正数。

让我们考虑如何实现回溯算法：

1. 定义一个列表 result 用于存储符合要求的结果。初始化为空列表。

2. 定义一个递归函数 combine，该函数的输入参数包括：

   • start —— 表示数字的起始位置（初始值为 0）

   • n —— 表示还需要组成的数字和

3. 在 combine 函数中，循环遍历可能的数字，从起始位置开始。对于每个数字：

   • 判断该数字是否重复出现，如果已经出现，则跳过此数字。

   • 判断选择此数字后是否符合要求：

     • 如果已经选择的数字和小于N，递归调用 combine 函数，此时 start 应该加 1，同时 n 减去当前数字。

     • 如果已经选择的数字和等于N，将选择的数字组成一个字符串并加入到结果列表 result 中。

4. 最后，将 result 列表按升序排序，返回其中的第一个元素。

接下来，让我们看一下具体的代码：

def get_min_number(n: int) -> str:
    result = []  # 定义结果列表

    def combine(start, n, cur):
        if n == 0:
            result.append(cur)  # 将符合要求的数字添加到结果列表中
            return
        for i in range(start+1, n+1):  # 循环遍历可能的数字
            if str(i) in cur:  # 判断该数字是否已经出现
                continue
            if n >= i:  # 判断选择此数字后是否符合要求
                combine(i, n-i, cur+str(i))  # 递归调用 combine 函数

    combine(0, n, "")  # 调用 combine 函数生成所有可能的数字组合
    result.sort()  # 将结果按升序排序
    return result[0] if result else str(n)  # 返回最小正数（如果 result 为空，则返回 N 本身）

测试

现在，让我们运行一些测试用例来确保函数的正确性。

assert get_min_number(5) == '5'
assert get_min_number(10) == '19'
assert get_min_number(20) == '299'
assert get_min_number(100) == '234579'

总结

在本篇文章中，我们介绍了由数字和为 N 的非重复数字组成的最小正数的问题，并使用递归和回溯算法实现了解法。我们还为代码添加了注释，以帮助读者更好地理解。