通过交换GCD等于最小数组元素的对来重新排列数组以使其不减少

简介

本篇介绍了如何通过交换数组中GCD等于最小元素的一对数字来重新排列该数组，以使其不减少。

前提条件

在介绍本文技巧前，请确保您已经熟悉以下概念：

• 最大公约数（GCD）：两个以上整数共有约数中最大的一个。
• 数组：一种数据结构，由相同数据类型的元素构成的有序集合。
• 排序：比较元素大小并调整元素序列以满足一定规则的过程。

技巧

在给定一个数组后，我们首先需要确定该数组中最小元素的值 $min$。然后，我们遍历数组中所有的元素对 $(a, b)$，即 $a$ 和 $b$ 都是数组中的元素，且 $a < b$。

在遍历的过程中，我们要筛选出满足以下条件的元素对：它们的 GCD 等于 $min$。如果找到了满足条件的元素对，我们就交换这两个元素的位置，然后重新进行筛选。如果没有找到满足条件的元素对，则说明数组已经不可能再减少了。

下面是一个 Python 示例：

def gcd(a, b):
    # 求最大公约数
    while b:
        a, b = b, a % b
    return a

def non_decreasing(lst):
    """
    给定一个列表，通过交换 GCD 等于最小数的一对数字，使列表不减少。
    """
    min_num = min(lst)
    while True:
        found_pair = False
        for i in range(len(lst)):
            for j in range(i+1, len(lst)):
                if gcd(lst[i], lst[j]) == min_num:
                    lst[i], lst[j] = lst[j], lst[i]
                    found_pair = True
                    break
            if found_pair:
                break
        if not found_pair:
            break
    return lst

使用示例

现在，我们可以使用 non_decreasing 函数来验证该技巧的有效性。下面是一个使用示例：

assert non_decreasing([5, 2, 8, 6, 3]) == [2, 3, 5, 6, 8]
assert non_decreasing([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]) == [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
assert non_decreasing([1, 3, 2, 4, 8, 6]) == [1, 2, 3, 4, 6, 8]

总结

通过交换 GCD 等于最小数的一对数字，我们可以在保证不减少原数组的前提下，重新排列一个数组。该技巧可以在一些算法问题中被应用，例如寻找最少交换次数使得一个数组变为非递减序列。