数组排序：检查通过交换对来设置GCD的位数是否是最小数组元素的GCD

在计算机科学中，排序是一种重要的任务，其目的是将一个数组中的元素按照规定的顺序进行排列。这个过程需要比较数组中的元素大小并进行交换操作。在本文中，我们将讨论一种特殊的排序算法，即利用GCD的设置位数来对数组进行排序。

GCD的设置位数

GCD即最大公约数，表示两个数中最大的可以被整除的数。我们可以通过计算GCD来解决一些问题，例如判断两个数是否互质，求最小公倍数等等。在本文中，我们将使用GCD来进行排序。

在GCD的计算过程中，我们可以将两个数表示成二进制形式，然后通过移位操作将它们的位数对齐，接着递归计算它们的GCD。在这个递归过程中，我们可以记录每一次移位操作的次数，这个次数可以称作GCD的设置位数。

比如对于两个数18和12，它们的二进制表示分别为10010和01100，我们将它们左移三位后得到10000和11000，它们的GCD（即6）可以表示为做三次移位操作得到。

通过交换对来排序

现在我们来考虑如何利用GCD的设置位数来对数组进行排序。假设我们有一个长度为n的数组a[1..n]，其中最小的元素是min，我们的目标是将这些元素按照升序排列。

我们可以首先计算出数组中每一个元素和min的GCD的设置位数，然后根据这个设置位数从小到大依次处理。具体地，我们可以分别设定一个数组bit[0..31]来记录每一位上的元素个数，然后将每个元素放入相应的位上，最后再按照顺序输出即可。

这个算法的正确性基于如下的观察：对于任意一个数x，如果它和min的GCD的设置位数为k，则x可以表示成min*k+y的形式，其中y是一个小于min的数。因此，我们将数组中所有GCD设置位数为k的元素放入第k位上，输出时就得到了按照升序排列的数组。

代码实现

下面是这个算法的C++代码实现：

#include <iostream>

using namespace std;

const int MAXN = 1000000;

int n, a[MAXN], bit[32];

int gcd_bits(int x, int y) {
    int cnt = -1;
    while (x || y) {
        cnt++;
        x >>= 1;
        y >>= 1;
    }
    return cnt;
}

void radix_sort() {
    int min_val = 1e9;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        min_val = min(min_val, a[i]);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        bit[gcd_bits(a[i], min_val)]++;
    }
    for (int i = 1; i <= 31; i++) {
        bit[i] += bit[i - 1];
    }
    int tmp[MAXN];
    for (int i = n; i >= 1; i--) {
        int k = gcd_bits(a[i], min_val);
        tmp[bit[k]] = a[i];
        bit[k]--;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        a[i] = tmp[i];
    }
}

int main() {
    cin >> n;
    radix_sort();
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cout << a[i] << " ";
    }
    cout << endl;
    return 0;
}

在这段代码中，我们首先通过gcd_bits函数计算出每个元素和min的GCD的设置位数，并统计每一个设置位数上的元素个数。然后，我们将这些元素按照递增的设置位数依次放入桶中，再按照桶中的顺序输出即可。

总结

在本文中，我们介绍了一种通过交换对来设置GCD的位数以实现排序的算法。这个算法基于一个关键的观察，即对于任意一个数x，如果它和最小值min的GCD的设置位数为k，则x可以表示成min*k+y的形式，其中y是一个小于min的数。这个算法的时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度也为O(nlogn)。我们希望本文能够为大家带来一些新的排序思路，同时也希望大家能够深入理解GCD的基本性质。