在最多 K 次更改后最大化 Array 中不同元素的数量

介绍

在算法中常常需要面对一个问题：如何在最多 K 次更改后最大化数组中不同元素的数量。这是一个常见的问题，通常可以使用贪心策略或者动态规划来解决。

具体而言，我们可以采用以下两个方法：

• 贪心策略：使用最大堆或者最小堆进行处理，每次从堆中选择出现次数最多或者最少的元素，将其替换成另一个不同的元素。重复该过程 K 次，直到堆为空或者 K 次更改已经完成。最终数组中不同元素的数量即为答案。

• 动态规划：定义状态 dp[i][j] 表示前 i 个元素中，经过 j 次修改后不同元素的最大数量。那么状态转移方程可以定义为：

  dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[k][j-1] + count)，

  其中 k ∈ [0, i) 且 nums[k] != nums[i]，count 表示将 nums[k] 替换成 nums[i] 后新增加的不同元素数量。

  最终的答案即为 dp[n][k]，其中 n 表示数组 nums 的长度。

下面详细介绍每个方法的实现过程。

贪心策略

我们先来看一下如何使用最大堆或者最小堆来解决该问题。

最大堆

我们可以使用最大堆来维护出现次数最多的元素，每次将堆顶元素替换成不同的元素，直到堆为空或者完成 K 次更改。为了方便，我们可以使用 map 来统计每个元素的出现次数。

int max_diff(vector<int>& nums, int K) {
    unordered_map<int, int> count;
    for (int x : nums) {
        count[x]++;
    }
    priority_queue<pair<int, int>> pq;
    for (auto& [num, cnt] : count) {
        pq.push({cnt, num});
    }
    int ans = 0;
    while (!pq.empty() && K > 0) {
        auto [cnt, num] = pq.top();
        pq.pop();
        if (cnt <= K) {
            ans++;
            K -= cnt;
        } else {
            ans += K;
            K = 0;
        }
        if (cnt - K > 0) {
            pq.push({cnt - K, num});
        }
    }
    return ans;
}

最小堆

我们也可以使用最小堆来维护出现次数最少的元素，每次将堆顶元素替换成不同的元素，直到堆为空或者完成 K 次更改。

int min_diff(vector<int>& nums, int K) {
    unordered_map<int, int> count;
    for (int x : nums) {
        count[x]++;
    }
    priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<>> pq;
    for (auto& [num, cnt] : count) {
        pq.push({cnt, num});
    }
    int ans = 0;
    while (!pq.empty() && K > 0) {
        auto [cnt, num] = pq.top();
        pq.pop();
        ans++;
        K--;
        if (cnt > 1) {
            pq.push({cnt - 1, num});
        }
    }
    return ans;
}

动态规划

我们接下来看一下使用动态规划进行求解的方法。

int dp_diff(vector<int>& nums, int K) {
    unordered_map<int, int> lst;
    vector<int> dp(nums.size() + 1);
    for (int i = 1; i <= nums.size(); i++) {
        int cnt = lst[nums[i - 1]];
        int sum = dp[i - 1];
        dp[i] = sum + 1;
        for (int j = 1; j <= K; j++) {
            if (cnt > j || i == 1) {
                dp[i] = max(dp[i], sum + 1);
            }
            else {
                dp[i] = max(dp[i], dp[lst[nums[i - 1]]] + j - cnt + 1);
            }
        }
        lst[nums[i - 1]] = i;
    }
    return dp[nums.size()];
}

在该实现中，我们使用了一个 lst 数组来记录每个元素最后一次出现的位置，dp 数组表示前 i 个元素中，经过 j 次修改后不同元素的最大数量。对于 dp[i][j]，我们遍历 i 前面的元素，将 nums[k] 替换为 nums[i] 后，新增加的不同元素数量为 j-cnt+1，其中 cnt 表示 nums[k] 在 i 之前出现的次数。

总结

以上两种算法都可以实现在最多 K 次更改后最大化数组中不同元素的数量，但是它们的时间复杂度不同。贪心策略的时间复杂度为 O(n log n)，其中 n 是数组的长度；动态规划的时间复杂度为 O(n K)，其中 n 是数组的长度，K 是最多可以更改的次数。对于数据规模较小的情况，两种算法都可以使用，但对于数据规模比较大的情况，建议选择动态规划算法来求解。