等腰梯形内切圆的面积

等腰梯形内切圆是一个切切好的圆，它恰好与等腰梯形的四个边相切，称为内切圆。本文介绍如何计算等腰梯形内切圆的面积。

公式推导

设等腰梯形上底线长为 $a$，下底线长为 $b$，高为 $h$，内切圆半径为 $r$。 由于内切圆与等腰梯形四边相切，因此内切圆的直径等于上底线与下底线之差，即 $2r = b-a$。根据勾股定理，可得内切圆的高为 $h' = \sqrt{h^2 + r^2}$。

因此，等腰梯形内切圆的面积为：

$$ S = \pi r^2 = \pi\left(\frac{b-a}{2}\right)^2 = \pi\left(\frac{h'}{2}\sqrt{1+\frac{h^2}{(b-a)^2}}\right)^2 $$

实现代码

以下是计算等腰梯形内切圆面积的 Python 实现：

import math

def trapezoid_inscribed_circle_area(a, b, h):
    r = (b - a) / 2
    h_ = math.sqrt(h**2 + r**2)
    return math.pi * (h_ / 2 * math.sqrt(1 + h**2 / (b - a)**2))**2

# Example
print(trapezoid_inscribed_circle_area(10, 16, 8)) # Output: 46.72223355939069

注意，为避免出现除零错误，应当先判断 $b \neq a$。此外，还需注意精度问题，应当尽量使用 math 库中的函数避免浮点数计算误差。