有向无环图中的单源最短路径

通过根据其顶点的拓扑排序放宽加权DAG(有向无环图)G =(V，E)的边缘，我们可以找出∅(V + E)时间中来自单个源的最短路径。最短的路径总是被很好地描述，因为即使存在负权重的边，也不会存在负权重循环。

该数据的运行时间由第1行和第3-5行的for循环确定。拓扑排序可以在∅(V + E)时间中实现。在第3-5行的for循环中，就像Dijkstra的算法一样，每个顶点有一个重复。对于每个顶点，离开顶点的边都将被精确检查一次。与Dijkstra的算法不同，我们每个边缘仅使用O(1)时间。因此，运行时间为∅(V + E)，在图表的邻接表描绘的大小上是线性的。

例：

步骤1：要对顶点进行拓扑排序，请应用DFS(深度优先搜索) ，然后通过减小完成时间的顺序以线性顺序排列顶点。

现在，按照拓扑排序的顺序获取每个顶点，并放松每个边缘。

adj [s] →t, x
0 + 3 < ∞
d [t] ← 3
0 + 2 < ∞
d [x] ← 2

adj [t] → r, x
3 + 1 < ∞
d [r] ← 4
3 + 5 ≤ 2

adj [x] → y
2 - 3 < ∞
d [y] ← -1

adj [y] → r
-1 + 4 < 4
3 <4
d [r] ← 3

因此，最短路径是：

s to x is 2
s to y is -1
s to t is 3
s to r is 3