如何求三角形的周长和面积？

几何是数学的一个分支，与算术本身一样古老。它处理图形的属性、它们的测量值、两个形状或点之间的距离以及它们的相对位置。换句话说，几何学是数学的一个分支，涉及面、点、形状、平面、坐标等。自然界中观察到的每一种形状都属于几何学的范畴。它有助于测量所有这些形状的各种比例，并计算它们的面积、体积和其他相关参数。它不仅可以帮助人们清楚地了解数学理论，而且在日常生活中也很有用。

三角形

三角形定义为通过连接三个点获得的平面形状，其中两个点不共线。如果所有三个点都共线，则结果图形将不会称为三角形。顾名思义，三角形有三个角，它们的总和总是 180 度。由于它是通过连接三个共面点形成的封闭图形，因此三角形是二维形状，这意味着它是没有任何厚度的平面形状。

下图描绘了一个三角形 ABC，它具有三个顶点 AB、BC 和 CA。

三角形的类型

• 不等边三角形：不等边三角形是所有边都不相等的三角形，即具有不同的度量。结果，所有这些边都以不同的角度相互倾斜。因此，不等边三角形的边和角具有不同的度量。

• 等腰三角形：等腰三角形是两个边相等且与等边对边的角也相等的三角形。

• 等边三角形：等边三角形是所有三个边以及角度都相等的三角形。由于三角形的角和属性表明三角形的所有三个角之和为 180 度，因此等边三角形的每个角为 60 度。

• 直角三角形：直角三角形是所有边尺寸不同的三角形，两个较短的边相互垂直。最长的边称为斜边。

三角形的周长

任何封闭空间的周长是指围绕其侧面的长度。将形状所有边的长度相加将得出其周长。类似地，三角形的周长可以通过将其三个边的长度相加来计算。

Perimeter of a regular triangle ABC = AB + BC + CA

对于等边三角形，上述公式可以进一步简化如下：

Perimeter of an equilateral triangle with side a = a + a + a = 3a.

三角形的面积

根据三角形的类型，可以用不同的方式计算三角形的面积。这些方法如下：

1. 三角形的面积可以用底长和高来计算：

Area of a triangle given its base and height = 1/2 × b × h

2. 上式可用于不等边三角形、等腰三角形和直角三角形。但是在等边三角形的情况下，计算面积的公式是：

Area of an equilateral triangle with side a = $\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2)$

3. 有时，为了计算不等边三角形的面积，在没有关于其角度测量值和高度长度的任何信息的情况下，必须应用 Heron 公式。

Area of a triangle using Heron’s Formula = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, where s is the semi-perimeter of the given triangle and a, b, c represent the lengths of the sides of the given triangle.

示例问题

问题 1. 求边长为 6 厘米的等边三角形的周长和面积。

解决方案：

Perimeter of an equilateral triangle = 3a = 3(6) = 18 cm

Area of an equilateral triangle = $\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2)$ = $\frac{\sqrt{3}}{4}(6^2)$ 

= 9√3 sq. cm

Hence, perimeter = 18 cm and area = 9√3 sq. cm.

问题 2. 求底边为 3 厘米，斜边为 5 厘米的直角三角形的周长。

解决方案：

As per Pythagoras Theorem, (hypotenuse)² = (base)² + (perpendicular)²

⇒ $\sqrt{5^2 - 3^2}$= perpendicular

⇒ Perpendicular = 4 cm

So, perimeter of the triangle = 4 + 3 + 5 cm 

= 12 cm

Hence perimeter of the given triangle is 12 cm.

问题 3. 求底边为 40 厘米，高为 12 厘米的三角形面积。

解决方案：

Area of a triangle given its base and height = 1/2 × b × h 

= 1/2 × 40 × 12 

= 240 sq. cm

Thus, the area of the given triangle is 240 sq. cm.

问题 4. 求一个周长为 75 厘米的等边三角形的边。

解决方案：

Perimeter of an equilateral triangle = 3a

3a = 75, or a = 25 cm

Hence the side of the triangle is 25 cm.