给定数组的所有子集的平方和

本题要求编写一个函数，计算给定数组的所有子集的平方和。这里的子集是指由原数组中的元素组成的任意长度的数组，并不是指真正意义上的子集。

方法一：暴力枚举

我们可以用暴力枚举的方法来解决这个问题。具体来说，我们从空数组开始，依次枚举原数组中的每个元素，每次将当前元素加入到所有已有子集中去，并计算它们的平方和。最终得到的结果就是所有子集的平方和。

下面是使用 Python 编写的暴力枚举函数的代码：

def subsetSquareSum(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    res = 0
    for i in range(1 << n):
        cur = []
        for j in range(n):
            if i & (1 << j):
                cur.append(nums[j])
        res += sum(cur) ** 2
    return res

时间复杂度为 $O(2^n n)$，其中 n 是数组的长度。

方法二：数学推导

我们注意到，每个元素在不同的子集中出现的次数都是相等的，而且每个元素出现在奇数个子集中和出现在偶数个子集中的和相等。这启示我们可以直接计算每个元素出现在所有子集中的次数，然后将它们的平方和相加，就可以得到所有子集的平方和。

具体来说，设原数组中第 i 个元素为 $x_i$，则该元素出现在 $2^{n-1}$ 个子集中（因为该元素可以选或者不选，而其它元素都只有选或者不选这两种情况），出现在奇数个子集中的次数为 $2^{n-2}$。因此，该元素在所有子集中出现的次数为 $x_i(2^{n-2})$。

根据上面的推导，我们可以写出如下的代码：

def subsetSquareSum(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    res = sum(nums) ** 2 * (1 << (n - 2))
    for num in nums:
        res += num ** 2 * (1 << (n - 1))
    return res

时间复杂度为 $O(n)$。

总结

本题可以用暴力枚举法或数学推导法解决，两种方法的时间复杂度分别是 $O(2^n n)$ 和 $O(n)$。如果数据规模较小，可以用暴力枚举法。如果数据规模较大，可以用数学推导法，以减少计算量。